I." PARTIE. CHAP. IV

groupes , de telle manière que les lettres a,b, c ... du premier groupe soient en nombre égal k x , et les lettres^, q, r . .. à\i second groupe en nombre égal à y. Parmi les combinaisons formées avec ces différentes lettres , les unes renfermeront seulement des lettres prises dans le premier groupe. Le nombre des combinaisons de cette espèce sera

■r(x— i) (x— 2)...(x-w4-i) I .2 . 5 , . ,ra

D'autres renfermeront ?i — i lettres prises dans le premier groupe , et une lettre prise dans ie second. On déterminera facilement le nombre des combinaisons de cette seconde espèce, et l'on verra qu'il est égal à

X[X-JI)J X-2)...(x-7; + 2) y

On trouvera de même pour le nombre des combinaisons qui renferment 71- ^ lettres prises dans le premier groupe, et deux lettres prises dans le second,

&c. . . ; enfin , pour le nombre des combinaisons qui renferment seulement des lettres prises dans le dernier groupe,

yÇy-,) (y-2)....(y-.„4.,) > .2 .3 . . . .«

La somme des nombres des combinaisons de chaque espèce devant reproduire le nombre total des cornbmaisons des x^y lettres données prises nkn, on en conclura

^^ , l ôLC. . .

L'équation précédente , étant ainsi démontrée pour le cas où les variabies x eiy obtiennent des valeurs entières supérieures à n, subsistera, en vertu du 2.^ théorème [§. 2], pour des valeurs quelconques de ces variables ; et la valeur du produit ( i ) tirée de la même équation sera

i^-^y) {.x-\-y—i) (x-Hy — 7^^-I)

^3A ^^ /'L"rr.l^ xfx—^)....{x — n+^).y{y—l) +&c...

H— x.y{ij+\) {y—n+2)-\-y{y—\) (y— w+i).

Corollaire /."■ Si dans l'équation (2) ou remplace x par — x ei y par —y , on obtiendra k suivante

-1 — r , -t- OcC. . . .

X y{y+j)...{y+n—i) ^ y (y-Hi). . .(y-h«— Q , __ . ^ — — .