I."' PARTIE. CHAP. IV

Corollaire 2/ Si dans i équation (2) on remplace j: par ^ety par ^ , on trouvera

C^/?^LL^//î^ j./ En déveioppant les deux membres de I équation (2), et ne conservant de part et d'autre que les termes dans lesquels ia somme des exposans des variables est égale à .^, on obtiendra la formule

La valeur de {^-^y)" tirée de cette dernière formule est précisément celle que fournit le binôme de Neivton.

Les formules qu'on vient d'obtenir peuvent être facilement étendues au cas où l'on considère plus de deux variables; et la méthode qui nous a conduits à la solution du premier problème se trouve également applicable à la question suivante :

2.^ Problème. x,y,z.., désignant des variables en nombre quelconque, exprimer le produit

(x+i/-\-z . . .) {x-i-y-hz . . .—i) (x-\-y+z...~2). . .{x+y+z ...—n+i]

en fonction des ^uivans

x{jo — 1 ) (^ — 2) . . . (jr — n-h- I ) ,

y(y-0(y-2)--.(y-?ï-Hi),

et de tous ceux qu'on peut en déduire ^ en chaiigeant la valeur de n.

On commencera par résoudre le problème dans ie cas où X, y, z . . . désignent des nombres entiers supérieurs à n, en partant de ce principe, que la fraction

est égale au nombre des combinaisons que l'on peut former avec x-^y-^z . . . lettres prises n à n. Puis, on passera au cas où les variables x, y , z ... deviennent des quantités quelconques , en s'appuyant sur ie 3.^ théorème du §. 2. Lorsque l'on aura ainsi démontré la formule qui résout la question proposée, on en déduira sans peine la valeur de la puissance

On y parviendra , en effet , en développant les deux membres de la formule trouvée , et ne conservant de part et d'autre que les termes dans lesquels les exposans réunis des variables x, y, z ... forment une somme égale à n.