CHAPITRE V

Détermination des Fonctions continues d'une seule iicmahle propres a vérifier certaines conditions.

\. 1/' Recherche d'une Fonction continue formée de telle manière que deux semblables Fonctions de quantités variables, étant ajoutées ou multipliées entre elles , donnent pour somme ou pour produit une Fonction semblable de la somme ou du produit de ces variables.

Lorsque, au lieu de fonctions entières, on considère des fonctions quelconques, dont on laisse ia forme entièrement arbitraire, on ne peut plus réussir à les déterminer d'après un certain nombre de valeurs particulières, quelque grand que soit ce même nombre; mais on y parvient quelquefois dans le cas où l'on suppose connues certaines propriétés générales de ces fonctions. Par exemple , une fonction continue de œ, représentée par cp (a:*), peut être complètement déterminée, lorsqu'elle est assujettie à vérifier , pour toutes les valeurs possibles des variables x et y , Tune des équations

(i) <P(^-Hy) = 9(.r)-i-cp(y),

ou bien , pour toutes les valeurs réelles et positives

des mêmes variables, i'iine des équations suivantes

La résolution de ces quatre équations présente quatre problèmes différens que nous alions traiter l'un après l'autre,

1.^' Problème. Déterminer la fonction (^{x) , de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x , et que l'on ait pour toutes les valeurs réelles des variables x et y

(i) q)(^-Hy) = Cp(.r)-i-q)(y).

Solution. Si dans i équation (i) on remplace successivement y par y -^z , z par z-\-u , &c. . . . , on en tirera

= <::{)(^)-H<:î)(y)H-c|)(^)-i-cî)(?/)-t-&c....,

quel que soit le nombre des variables jc, y, z, u,h.Q.: si , de pius , on désigne par m, ce même nombre , par CL une constante positive , et que l'on fasse

a: =:^ y =: z := U . . . . z= cL ^

la formule que l'on vient de trouver deviendra

Cp [în cl) = m Cp (et).

Pour étendre cette dernière équation au cas où le nombre entier m se trouve remplacé par un nombre