PARTIE. CHAP. V

fractionnaire —, ou même par un nombre quelconque jt/t, on fera, en premier lieu,

t) = — et ,

?n et n désignant deux nombres entiers ; et l'on en conclura

?i Q = 7n et ,

n.<^{^) = m . <:p (ût) ,

puis, en supposant que la fraction — varie de manière à converger vers un nombre quelconque /x, , et passant aux limites , on trouvera

Si maintenant on prend cl= i , on aura , pour toutes les valeurs positives de /a ,

et par suite , en faisant converger fji vers la limite zéro ,

Cp(o) == o.

D'ailleurs , si dans l'équation { i ) on pose jc =. fx , y=. — /x , on en tirera

Cî)(- ^) =: Cî) (o) - Cp(/^) = - /X.Cp (l).

L'équation ( 5 ) subsistera donc , lorsqu'on y chan-

géra /x. en — /x. En d'autres termes , on aura, pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable x ,

(6) cp(.r) = xq)[\).

Il suit de la formule (6) que toute fonction Cp(.t^), qui , demeurant continue entre des limites quelconques de la variable , vérifie l'équation ( i ) , est nécessairement de la forme

a désignant une quantité constante. J'ajoute que la fonction ax jouira des propriétés énoncées , quelle que soit la valeur de la constante a. En effet, le produit ax est, entre des limites quelconques de la variable x , fonction continue de cette variable; et, de plus, la supposition <})(^) = ax change l'équation ( I ) en cette autre

d(^x -^ y) = ax -+- ay ,

laquelle est évidemment toujours identique. La formule (7) fournit donc une solution de la question proposée , quelle que soit la valeur attribuée à la constante a. La faculté que l'on a de choisir arbitrairement cette constante , lui a fait donner le nom de constante arbitraire.

2." Problème. Détermmer la fo?ictio?i (p(^), de manière qu'elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x, et que l'on ait pour toutes les valeurs réelles des variables x ety