I." PARTIE. CHAP. V

(2) o {x -H y) =z cp {a:) .<:p(y).

Solution. li est d'abord facile de s'assurer que la fonction <p{-^), assujettie à vérifier l'équation (2), n'admet que des valeurs positives : et en effet, si dans l'équation (2) on fait y^^x , on trouvera

puis on en conclura , en écrivant ^ ^ au lieu de x ,

La fonction Cp (^) est donc toujours équivalente à un carré , par conséquent toujours positive. Cela posé, concevons que dans l'équation (2) on remplace

successivement y par y -\- z , z par z -h u, &:c

on en tirera

cp {^x-^y^z^u . . . ) = ^ \x) Cp^y) <p{z) C|>(w) . . . ,

quel que soit le nombre des variables x,y, z^u . ., Si, de plus, on désigne par m ce même nombre, par et une constante positive , et que l'on fasse

X=zy=.Z=:U....:=z<X,,

la formule que l'on vient de trouver deviendra

Pour étendre cette dernière formule au cas où le nombre entier m se trouve remplacé par un nombre

fractionnaire — , ou même par un nombre quelconque ^ , on fera , en premier lieu ,

G = — et ,

m et n désignant deux nombres entiers; et Ton en conclura

n Q = m et ,

puis , en supposant que la fraction — varie de manière à converger vers un nombre quelconque /ia, , et passant aux limites , on trouvera

Si maintenant on prend ce = i , on aura pour toutes les valeurs positives de /a,

et par suite, en faisant converger /n vers la limite zéro,

cp(o)=i.

D'ailleurs, si dans l'équation (2) on pose jc=zfA,, yz=: — /A, on en conclura

L'équation (8) subsistera donc , lorsqu'on y changera fA, en —/ui. En d'autres termes, on aura pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable ^