I." PARTIE. CHAP. V

Il suit de l'équation (9) que toute fonction cp (:r) propre à résoudre ie second problème est nécessairement de la forme

A désignant une constante positive. J'ajoute qu'on peut attribuer à cette constante une valeur, quelconque entre les limites o et 00 . En effet, pour toute valeur positive de ^ , la fonction A ' reste continue depuis xz=i—oo jusqu'à ^ = -1- 00 , et i'équation

A''^^ = A' . Ay

est identique. La quantité,.^ est donc une constante arbitraire qui n'admet que des valeurs positives.

Nota. On pourrait arriver très-simplement à l'équation (9), de la manière suivante.

Si i'on prend les logarithmes des deux membres de l'équation (2) dans un système quelconque , on trouvera

et l'on en conclura [voyez le i .*' problème]

puis, en repassant des logarithmes aux nombres ,

3.^ Problème. Détermine?- la fonction ^(.r) de manière qu'elle reste continue entre deux limites

positives quelconques de la variable x , et que ï on ait , pour toutes les valeurs positives des variables X et y ,

(3) <P(-^y) = <^(■^)-*-<P(y)• »S'oLf7^/oiv. H serait facile d'appliquer à la solution du 3 / problème une méthode semblable à ceile que nous avons employée pour résoudre ie premier ; mais on arrive plus promptement à la solution cherchée , en mettant l'équation (3), ainsi qu'on va le faire, sous une forme analogue à celle de l'équation (i).

Si l'on désigne par A un nombre quelconque , et par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est ^^^on aura , pour toutes lee valeurs positives des variables x et y ,

.X = A , y = A , en sorte que i'equation (3 ) deviendra

<p{a'^^^^']=:<p{a'"')^cp{a''').

Comme , dans cette dernière formule , les quantités variables L.r, Ly admettent des valeurs quelconques positives ou négatives, il en résulte qu'on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables a: et y ,

cp(^'*^) = q{A'')-^<S?{A>).

On en conclura [voyez le i .^' problème , équat. (6)] <^[A')=:za;q>{A')^x<^{A),