I." PARTIE. CHAP. V

et par suite

OU, ce qui revient au même,

(il) <:^{jc) = q){A) . Lx.

Il suit de la formule (ii), que toute fonction <p(.r), propre à résoudre le 3.^ problème, est nécessairement de la forme

(12) Cp (.r) = « Z. (^) ,

a désignant une constante. Il est d'ailleurs aisé de s'assurer, i .° que la constante a demeure entièrement arbitraire, 2." qu'en choisissant convenablement le nombre A, qui est lui-même arbitraire, on peut la réduire à l'unité.

4.^ Problème. Déteiminer la fonction <p (x) de manière qu'elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable x , et que l'on ait , pour toutes les valeurs positives des variables X et y ,

(4) 0(.ry)=r:<p(.r).cp(//).

Solution. Il serait facile d'appliquer à la solution du 4-* problème une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le second. Mais on arrivera plus promptement à la solution cherchée, si l'on observe qu'en désignant par L la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A f on peut mettre l'équation (4) sous la forme

Comme, dans cette dernière éqnatfon, les quantités variables L[x), L{(/), admettront des valeurs quelconques positives ou négatives, il en résulte qu'on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables ^- et y ,

On en conclura [voy. le 2/ problème, équat. (p)]

et par suite,

ou , ce qui revient au même ,

(13) cp(.r)

LfiA]

II résulte de l'équation (13) que toute fonctioB <|) (^), propre à résoudre le 4-^ problème, est nécessairement de la forme

a désignant une constante. Il est d'ailleurs aisé de s'assurer que cette constante doit demeurer entièrement arbitraire.

Les quatre valeurs de Cp(-i^) qui satisfont respectivement aux équations (i), (2), (3), (4), savoir,,

Cl ce f jtx f Cl Lj ûC j JC j

ont cela de commun, que chacune d'elles renferme