TOM. 1. H

Problème. Déterminer la fonction (p {x) de manière quelle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable x, et que l'on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables X ety ,

(i) Cp(y-4-.r) H- Cp(y-^) = 2 (^[x] . q)(y).

Solution. Si dans iequatioii (i) on fait x=o,

on en tirera

cp(o)= I.

La fonction <2;>[x) se réduit donc à l'unité, pour la valeur particulière ^ = o ; et puisqu'on la suppose continue entre des limites quelconques , il est clair qu'elle sera, dans le voisinage de cette valeur particulière , très-peu différente de l'unité, par conséquent positive. On pourra donc , en désignant par et un nombre très-petit , choisir ce nombre de telle manière que la fonction Cp(.^) reste constamment positive entre les limites

X — o , .r = ot.

Cela posé , il arrivera de deux choses l'une. Ou la valeur positive de Cp (ol) sera comprise entre les limites o et i ,. ou cette valeur sera supérieure à l'unité. Nous allons examiner successivement ces deux

hypothèses.

Concevons d'abord que Cp(ûL) ait une valeur comprise entre les limites o et i . On pourra représenter cette valeur par le cosinus d'un certain arc ô renfermé entre les limites o , ^ ; et poser en conséquence