I."^ PARTIE. CHAP. V

Cp (oLJ ^ COS. ô.

De plus, si, dans l'équation (i) mise sous la forme

cp (y-H^) = 2 <|) (^) cp (y) — cp (y-^) , on fait successivement

a: = et , y =rr oC ,

.r =: et , y =: 2 CL,

J7 zz: et , y :== 3 et, &C. . . . ,

on en déchiira l'une après i'autre les formules

Cp (2 et) =: 2 COS.'' 9 — I =: cos. 2 6 ,

Cp ( ^ ctj = 2 COS. u . cos, 2 0 — COS. 0 =: cos. 2 9 ,

Cp(4ct) ^ 2 COS. 9. cos. 3 9 — COS. 281= cos. 4» »

et en général , m désignant un nombre entier quelconque ,

Cpfwct) = 2COS.G. COS.ilJl I )ô COS. (m 2)0=: COS. wô.

J'ajoute que îa formule

Cp (7?^ct) = COS. mô

subsistera encore , si i'on y remplace le nombre entier m par une fraction , ou même par un nombre quelconque /ll. C'est ce que l'on prouvera facilement, ainsi quil suit.

Si dans l'équation (i) on fait ^'==^ot, y:=-^et, on en tirera

puis , en extrayant les racines positives des deux membres, et observant que les deux fonctions Cp(.r), cos,^ restent positives, la première entre les limites .r = o , jc^cL, ia seconde entre les limites :r = o , ^ = ô, on trouvera

<p{^ct) = cos.^ô.

De même, si dans l'équation (i) on fait

011 en tirera

WU^jJ = 1 1 -L^««-4^J '

puis , en extrayant de part et d'autre les racines positives ,

<^(^ct)=cos.^ô.

Par des raisonnemens semblables, on obtiendra successivement les formules

et en général , n désignant un nombre entier quelconque ,

Si l'on opère sur la valeur précédente de <p(-^n ««-)

l/" PARTIE. CHAP. V. 117

pour en déduire celle de Ç (^ et, j , comme on a

opéré sur ia valeur de Cp (ce) pour en déduire celle de C|)(77icc), on trouvera

<fi-^'^)

COS

puis, en supposant que la fraction -^ varie de manière à s'approcher indéfiniment du nombre f^ , et passant aux limites, on obtiendra l'équation

(2) Cp (/XCt) = COS. yaÔ.

De plus , si dans la formule ( i ) on fait

a: = fj,cL , y = o , on en conclura

CJ)( — ,act)=:[2Cp(o) — I ]cp(/^ct)=cos./>tô=cos.( — ,axô).

L'équation (2) subsistera donc, lorsqu'on y remplacera /tA, par — jiL. En d'autres termes , on aura , pour des valeurs quelconques positives ou négatives de la variable a:,

(3) Cp (et J?) = COS. 9.r.

Si dans cette dernière formule on change o^- en — , elle donnera

(4) <P {<r) = COS.— .-r =: COS. ( X jA .

La valeur précédente de Cp(j:') est relative au cas où Iq. quantité positive Cp(ct) reste comprise entre les

limites o et i . Supposons maintenant cette même quantité supérieure à l'unité. H est facife devoir que \ . dans cette seconde hypothèse , on pourra satisfaire par une valeur positive de ?- à l'équation

li suffira, en effet, de prendre

Cela posé , si dans l'équation ( 1 ) on fait successivement

a: z= CL, 7/ = CL,

.X =z ai, y = 2 et ,