PARTIE. CHAP. VI. i

S„ — 11^ -4- tl^ H- U^ -H &C -4- U„,

vers une limite fixe s : en d'autres termes , il est nécessaire et il suffit que , pour des valeurs infiniment grandes du nombre n, les sommes

diffèrent de ia limite 5^ et par conséquent entre elfes, de quantités infiniment petites. D'ailleurs , les différences successives entre la première somme s„ et chacune des suivantes sont respectivement déterminées par ies équations

Donc , pour que la séiie ( i ) soit convergente , ii est d'abord nécessaire que le terme général ?/„ décroisse indéfiniment , tandis que n augmente ; mais cette condition ne suffit pas, et il faut encore que, pour des valeurs croissantes de n, les différentes sommes

c est-à-dire , les sommes des quantités "^ ' ^r^t , U:,^, , &c. . . .

prises , à partir de la première , en tel nombre que l'on voudra , finissent par obtenir constamment de* valeurs numériques inférieures à toute limite assignable. Réciproquement , lorsque ces diverses conditions sont remplies , la convergence de la série est assurée.

Prenons pour exemple la progression géométrique

Si la valeur numérique de .r est supérieure à l'unité , celle du terme général .r" croîtra indéfiniment avec n ^ et cette seule remarque suffii'a pour constater la divergence de la série. La série sera encore divergente , si l'on suppose .r = d= i , parce qu'alors la valeur numérique du terme général .r", se réduisant à l'unité, ne décroîtra pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de ?i. Mais, si la valeur numérique de JC est-s«pé«e«i^ à i unité, les sommes des termes de la série pris à partir de j;" en tel nombre que l'on voudra , savoir ,

-H JC"^' =.X"-

se trouvant toutes comprises entre les limites

clu:cu.ne d'elles deviendra infiniment petite pour des