I.*^ PARTIE. CHAP. VI

valeurs de n infiniment grandes; et par suite la série sera convergente , ce que l'on savait déjà.

Prenons pour second exemple la série nrimérique

(3) *' T' y T "• T' ^rrT' ^^ —

Le terme g^énéral de cette série , savoir , — '- — dé-

croît indéfiniment à mesure que n augmente , et cependant ia série n'est pas convergente ; car la somme

faite du terme — ^ — et de ceux qui le suivent ius-

qu'au terme — — inclusivement, savoir,

reste constamment supérieure, quel que soit n, au produit

et par suite , cette somme ne décroît pas indéfiniment pour des valeurs croissantes de n, ainsi que cela aurait lieu si la série était convergente. Ajoutons que , si l'on désigne par s„ la somme des 7? premiers termes de la série (3) , et par 2"' iapîus haute puissance de 1 renfermée dans 7i-\-i , on. trouvera

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«t À fortiori

On en conclura que la somme s„ croît indéfiniment avec !e nombre entier m, et par conséquent avec 71, ce qui est une nouvelle preuve de la divergence de

la série.

Considérons encore la séiie numérique ,

(4) '. T- rr- TXT ■ - T-T^r ' ^'-

Les termes de cette série qui occupent un rang supérieur à n , savoir ,

seront respectivement inférieurs aux termes correspondans de la progression géométrique

Par suite , la somme des premiers termes pris en tel nombre que l'on voudra sera toujours inférieure â la somme des termes correspondans de la progression géométricjue, qui est une série convergente, et à plus forte raison, à la somme de cette progression, c'est-à-dire, à

Comme cette dernière somme décroît indéfiniment à mesure que // augmente , il en résulte que la série (4) est eile-uîènie convergente. On est convenu