TOM. I

130 coiiRS d'analyse.

est convergente , ia somme de cette série est représentée par

Uo -*- W. -H U^ -^ ^S -^ ^^■

En vertu de cette convention , la valeur du nombre e se trouvera déterminée par l'équation

[O) e — ^^^ , ,.2 1.2.3 1.2.5-4 et, si l'on considère la progression géométrique

I , jc, j:\ x\ &c ,

on aura , pour des valeurs numériques de a; inférieures à l'unité ,

La série

Uo, Wi, ?'.' «3' ^c. ...

étant supposée convergente, si l'on désigne sa somme par s, et par s, la somme de ses n premiers termes, on trouvera

= 5„-HW„-V-2«„^,H-&C....,

et par suite

De cette dernière équation il résulte que les quantités

î."^ PARTIE. CHAP. VI. 131

formeront une nouvelle série convergente dont la somme sera équivalente à ^— ^„. Si l'on représente cette même somme par r„ , on aura

et r„ sera ce qu'on appelle ie reste de ia série (i) à partir du n.""' terme.

Lorsque, les termes de la série (i) renfermant une même variable a:, cette série est convergente , et ses différens termes fonctions continues de jc , dans le voisinage d'une valeur particulière attribuée à cette variable ;

*«^ r„ et s

sont encore trois fonctions de la variable .r, dont la première est évidemment continue par rapport à a: dans le voisinage de la valeur particulière dont il s'agit. Cela posé , considérons les accroissemens que reçoivent ces trois fonctions, lorsqu'on fait croître ^ d'une quantité infiniment petite cl. L'accroissement de s„ sera, pour toutes les valeurs possibles de n, une quantité infiniment petite; et celui de r, deviendra insensible en même temps que r„, si l'on attribue à ?i une valeur très-considérable. Par suite, l'accroissement de la fonction s ne pourra être qu'une quantité infiniment petite. De cette remaïque ou déduit immédiatement la proposition suivante.

1 ." Théorème. Lorsque les diffêrei^s termes de la série {i) sont des fonctiotu d'une même variMe x,

continues -par rapport a cette variable dans le voisinage d'une valeur particulière pour lacpœlle la série est convergente , la somme s de la série est aîissi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de x.

En vertu de ce théorème, la somme de la série (2) devra rester fonction continue de la variable x, entre ies limites .rr= — i , .rim ; ce qu'on peut vérifier à l'inspection de la valeur de s donnée par l'équation

§. 2/ Des Séries dont tous les termes sont positifs. Lorsque la série