I."^ PARTIE. CHAP. VI

n venant à croître au-delà de toute limite assignable,

les plus grandes valeurs de [u„) " ne pourront s'approcher indéfiniment de la limite k , sans finir par être constamment inférieures à U. Par suite , il sera possible d'attribuer au nombre entier n une vaieur assez considérable, pour que , ?i obtenant cette même valeur ou une valeur plus grande encore , on ait constamment

{u^kU, u„<U\ W en résulte que les termes de la série

finiront par être toujours inférieurs aux termes coi^ respondans de la progression géométrique

et , comme cette progression est con^ ergente ( à cause de U< i ) , on peut de la remarque précédente conclure a fortiori la convergence de la série (i).

Supposons , en second lieu , X- > i ; et plaçons encore entre les deux nombres i et k un troisième nombre U, en sorte qu'on ait

Si fi vient à croître au-delà de toute limite , les plus

grandes valeurs de {if,,)\ en s'approchant indéfiniment de k, finiront par devenir supérieures à [I

On pourra donc satisfaire à ia condition

on , ce qui revient au même , à la suivante

par des veieurs de n aussi considérables que l'on voudra ; et par suite , on trouvcj'a dans la série

un nombre indéfini de ternies supérieurs aux termes correspondans de îa progression géométrique

Comme cette progression est divergente (à cause de U> I ) , et qu'en conséquence ses difFérens termes croissent à l'infini, la remarque que l'on vient de faire suffira pour établir la divergence de la série ( i ). Dans un grand nombre de circonstances, on peut déterminer la valeur de la quantité k , à l'aide du théorème 4-^ [chap. II, §. 3. ]. En effet, en vertu

de ce théorème , toutes les fois que le rapport — "-^^

convergera vers une limite fixe , cette limite sera précisément la valeur de k. On peut donc énoncer îa proposition suivante.

2/ Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de n, le rappelât

converge vers une limite fixe k , la série ( i ) sera