I.''^ PARTIE. CHAP. VI

6.* Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent ,

(9) fi

sera une nouvelle série convergente , qui aura jiour somme s s'.

DÉMONSTRATION. Soient toujours s„f s'„ les sommes des n premiers termes des deux séries (y) , et désignons en outre par s"„ la somme des n pre-miers termes de la série (9). Si l'on représente par

m le plus grand nombre entier compris dans — ;— ' ,

c'est-à-dire, ^ lorsque ?i est impair, et ^

dans le cas contraire , on aura évidemment

< («o-t-U, -+-, . .-1-W„,) (v^-hV^-^. ..~{.V„, )

et > (îio-Hw, -4-. . . .-+-Wm) (t'o-Fî'i-H -^Vn);

ou , en d'autres termes ,

Concevons maintenant que l'on fasse croître n audelà de toute limite. Le nombre

n zt —

croîtra lui-même indéisniment ; et les deux sommes s^, ^,;..,.. convergeront vers la limite s, landis que

s' „ et s' „^, convergeront vers !a limite s. Par suite , les deux produits *•„ s „ , s^^, s' „,^, , et la somme s" ,^ comprise entre ces deux produits , convergeront vers la limite ss' : ce qui suffit pour établir le théorème 6.^

5. 3/ Des Séries qui renferment des termes positifs et des termes négatifs.

Supposons que ia série

(0 Wo, u,, w, u„, &c

se compose de termes , tantôt positifs , tantôt négatifs : et soient respectivement

les valeurs numériques de ces mêmes termes, en sorte qu'on ait

La valeur numérique de la somme

u, -H- u, -H ?^, -+-... -i- u„, lie pouvant jamais surpasser

il en résulte que ia convergence de la série (2) entraînera toujours celle de la série ( i ). On doit ajouter que la série ( i ) sera divergente , si quelques termes de la série (2) finissent par croître au-delà de toute