I."' PARTIE. CHAP. VI. î

limite assijJiiable. Ce dernier cas se présente lorsque

ies plus grandes valeurs de (j^^) " convergent, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite sujx*rieure à l'unité. Au contraire, lorsque cette limite devient inférieure à l'unité, ia série (2) est toujours convergente. On peut , en conséquence , énoncer le théorème suivant :

1.^' Théorème. Soit ^^ la valeur numérique du tci^ie général «„ de la série ( i ) ; et désignons par /. la limite vers laquelle convergent , tandis que n croît indéfiniment , les plus grandes valeurs de

l'expression (/„)". La série [f) sera convergente , si l'on a /•< i , et divergente , si l'on a k > i.

Lorsque la fraction "^ " ^ ' , c'est-à-dire, la valeur

numérique du rapport — ^^-^^^ , convergera vers une limite fixe, cette limite sera, en vertu du 4" théorème [chap. n,§. 3.^], la valeur cherchée de k. Cette remarque conduit à ia proposition que je vais écrire.

2.'' Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de n , la valeur numérique du rapport

converge vers une limite fixe k, la série (1) sera convergente , toutes les fois que l'on aura A- < 1 , et divergente , toutes les fois que l'on aura />i. Par exemple , si l'on considère la série

on trouvera

If t: —1— I ' /"V^ ?

oc

d'où il résulte que la série sera convergente.

Le premier des deux théorèmes qu'on vient d'étabiir ne laisse d'incertitude sur ia convergence ou la divergeiice d'une série que dans le cas particulier oii la quantité représentée par A devient égale à l'unité. Dans ce cas particulier, on peut quelquefois constater la convergence de la série proposée, soit en s'assurant que les valeurs numériques de ses différens termes forment une série convergente, soit en ayant égard au théorème suivant.

3.' Théorème. Si dans la série (1) /« valeur numérique du terme général u^ décroît constamment et indéfiniment , pour des valeurs croissantes de n , si de plus les différens termes sont alternativement positifs et négatifs , la série sera convergente.

Considérons, par exemple, la série

(2) 1, ^, -i- — , ^, H-&C..=t: — , zp-J- ,&C.

La somme des termes dont ie rang surpasse n, si on les suppose pris en nombre égal à m, sera

\ n-Hi ?i-i-2 n-^r'), «+4 n\vi J

Or la valeur numérique de cette somme, savoir,