Théorème. Soient

deux séries coïivergentes qui aient respectivement pour sommes s et s ;

(8) u,-^v, , u,-^v, , n,-^v, , ... u,^~\-v„ , Slc...

sera une nouvelle série convergente, qui aura pour domine s-^s.

DÉMONSTRATION. Si l'on fait

s^ et s' „ convergeront respectivement , pour des valeurs croissantes de n, vers les limites s et s' . Par suite, s„-^s' „, c'est-à-dire, la somme des 7i premiers termes de la série (8) convergera vers la limite s -{-s'; ce qui suffit pour établir le théorème énoncé. 6.^ Théorème. ZjCs mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent , si chacune des séries (7) reste convergente , lorsqu'on réduit ses di^érens termes a leurs valeurs numériques ,

, . \ «o^'o» u,v,-^-u, y„, u,v~^u, v,-hu,v^,

... u,v„-^u, v„,-h ... ~hU„, V,-+-U„ V, , &c...

sera une nouvelle série convergente , qui aura pour

somme s s'.

DÉMONSTRATION. Soient toujours s„, s'„ les sommes des n premiers termes des deux séries (7) , et désignons en outre par s\ la somme des n premiers termes de ia série (^), On trouvera

^••'^ ^\> — ^\, = W„, V^^, -t- (z/„, V„, -+- U„, V„,) H- . .. ■ -^ (««-. î^x -t- iin-z V,-^ ...-Ï-ÎI, V„, -t- U, V„).

De pîus, le théorème 6/ ayant été démontré dans le second paragraphe pour le cas où les séries (7) ne ^'enferment que des termes positifs, il en résuke que dans cette hypothèse chacune des quantités s„s' „, s\ converge, pour des valeurs croissantes de n, vers la hmite ss\ et, par suite , la dillérence s„s „ — s\, ou , ce qui revient au même , ia somme

vers la limite zéro.

Concevons maintenant que , les termes des séries (7) étant les uns positifs et les autres négatifs , on désigne respectivement par

\fo, /,, /., •.. /«. &c....,

(fo, /r, /», "■ fn, &C....,

les valeurs numériques de ces difFérens termes. Supposons de plus, conformément à l'énoncé du théorème , que les séries (10), composées de ces mêmes