I." PARTIE. CHAP. VI

valeurs numériques , soient toutes deux convergentes. En vertu de la remarque qu'on vient de faire, la somme

convergera, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro : et , comme la valeur numérique de cette somme sera évidemment supérieure à celle de la suivante

il en résulte que cette dernière , ou , ce qui revient au même, la différence s,^s\ — s" „ convergera ellemême vers la limite zéro. Par suite, .9^', qui est la limite du produit s-,^s' „, sera encore celle de s"^. En d'autres termes , la série (9) sera convergente ,. et aura pour somme le produit ss .

ScHOLiE. Le théorème précédent pourrait ne plus subsister , si les séries (7) , supposées convergentes, cessaient de l'être après la réduction de chacpie terme à sa valeur numérique. Concevons, par exemple , que pour chacune des séries (y) on prenne la suivante

(11) I, , j — , ^ ^, ^kç...

La série (9) deviendra

^ \Vi V3-2 V^'i v^/

Cette dernière est divergente. Car son terme général , savoir ,

± ( ^ -H -7==r- -t- —==- -t- ... H -H-TT 1

\ y/n Vi"— i;z V("— i)} y^t"— 0 V«/

a une valeur numérique évidemment supérieure à

iorsque ?i est pair, et à

2 fC

lorsque n est impair ; c'est-à-dire , dans tous les cas possibles, une valeur numérique supérieure à l'unité. Cependant la série (11) est convergente. Mais on doit observer qu'elle cesse de l'être , lorsqu'on réduit chaque terme à sa valeur numérique , puisqu'elle se change alors en la série (6) du J. 2,^

, 4.' Des Séries ordonnées suivant tes Puissances ascendantes et entières d'une variable.

Soit