I." PARTIE. CHAP. VI. loi

une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de la variable a: ,

désignant des coefficiens constans positifs on négatifs. Soit de plus A ce que devient pour la série (2) la quantité /c du paragraphe précédent [voy. le §. 3 , 2.^ théorème]. La même quantité, calculée pour la série ( i ) , sera équivalente à la valeur numérique du produit

Ax.

Par suite , la série ( i ) sera convergente , si cette valeur numérique est inférieure à l'unité , c'est-à-dire, en d'autres termes, si la valeur numérique de la variable a: est inférieure à -^ . Au contraire , la série ( i ) sera divergerite, si la valeur numérique de ^ surpasse -^ . On peut donc énoncer la proposition suivante.

1." Théorème. Soit a la limite vei^s laquelle converge , pour des valeurs croissantes de n , la racine n."'" des plus grandes valeurs numériques de • a^. La série (i) sera convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors des mêmes limites.

Lorsque la valeur numérique du rapport -^-^-^

converge vers une limite fixe , cette limite est [en vertu du 4'^ théorème , chapitre II , §. 3 ] la valeur cherchée de A . Cette remarque conduit à une nouvelle proposition que je vais écrire.

2.^ Théorème. Si, pour des valeurs croissantes de n, la valeur numérique du rapport

converge vers la limite A , la série ( i ) sera convergente pour foutes les valeurs de x comprises entre les limites

et divergente pour toutes les valeurs de x situées hors des mêmes limites.

Corollaire i."" Prenons pour exemple la série (3) 1, 2.r, 3 -^N 4'^^, . . . f7ï-»-i)x'^, &c...

Comme on trouvera dans cette hypothèse

et par suite,

on en conclura que la série (3) est convergente pour toutes îes valeurs de .r renfermées entre les limites

et divergente pour les valeurs de x situées hors de ces hmitcs.