I." PARTIE. CHAP VI

En examinant les résultats qu'on vient d'obtenir, on reconnaît immédiatement que, parmi ies séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de la variable a-, les unes sont tantôt convergentes , tantôt divergentes , selon la valeur attiibuée à cette variable , tandis que d'autres restent toujours convergentes , quel que soit j: , et d'autres toujours divergentes, excepté pour a: = o. On peut ajouter que le théorème i ."' ne laisse d'incertitude sur la convergence d'une semblable série que dans ie cas où la valeur numérique de j: devient égale

à la constante positive représentée par — r- , c'est-àdirc, lorsqu'on suppose

Dans ce cas particulier, la série est tantôt convergente , tantôt divergente, et la convergence dépend quelquefois du signe de la variable .r. Par exemple, si dans la série (4), pour laquelle A =z i ^ on fait successivement

X = I , ^ = — I , on obtiendra les deux suivantes (8) 1, ^, -1, -^, ...-1-, &c....

dont la première est divergente [voyez dans le §. 3 le corollaire du 3/ théorème] , et la seconde conver-

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gentc , ainsi que cela résulte du 3/ théorème [5- 3].

I! est encore essentiel de remarquer que par suite du premier théorème , lorsqu'une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable x sera convergente pour une valeur riumérique de x différente de zéro , elle restera convergente , si l'on vient à diminuer cette valeur numérique , ou même à la faire décroître indéfiniment.

Lorsque deux séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x sont convergentes pour une même valeur de la variable, on peut leur appliquer les théorèmes 5 et 6 du §. 3. Cette remarque suffit pour établir les deux propositions que je vais énoncer.