I." PARTIE. CIIAP. VI

Co , c,x , c^x" , Slc. . . . ,

sont convergentes pour une même valeur attribuée à la variable ^^ et que l'on désigne par s , s', s" leurs sommes respectrv es ,

«o-^-^o-^-Co , {a,-\-b,-hc,)x , {a^-hb^-hc^)x', &c...

sera une nouvelle série convergente , qui aura pour somme s-\- s' -+- s" .

4.^ Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si déplus chacune des séries (lo) t^este convergente , lorsqu'on réduit ses differens termes a leurs valeurs numériques ,

J^o^o, {a,b,-\-a,b^x, {aj?,^a,b,-^aj}^x\ .., \ ... {a,b^-^a,b,^,^.,.-^a^,b,-\-a„b,)x% &c...

sera une nouvelle série convergente, qui aura pour somme s s'.

CORO-.LAIRE i/'' Le .théorème précédent se trouve compris dans ia formule

\ (ao-+-«, J^-+-a,x^-t-&c.. .) (Z'o-|-é,x-+-6,x'-+-&;c.. .)

qui subsiste dans le cas où chacune des séries ( i o) reste convergente lors même qu'on réduit ses differens termes à leurs valeurs numériques , et qui sert

à développer dans cette hypothèse le produit des sommes des deux séries en une nouvelle série de même forme.

Corollaire 2/ En répétant plusieurs fois de suite l'opération indiquée par l'équation (13), on pourrait multiplier entre elles les sommes de trois ou d'un plus grand nombre de séries semblables aux séries (10), et dont chacune resterait convergente après la réduction de ses difFérens termes à leurs valeurs numériques. Le produit obtenu serait la somme d'une nouvelle série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x.

Corollaire j.' Si dans les deux corollaires précédens on suppose que toutes les séries dont oïl multiplie les sommes deviennent égales , on obtiendra pour produit une puissance entière de la somme de chacune d'elles ; et cette puissance se trouvera J encore représentée par la somme d'une série du f même genre. Par exemple, si dans l'équation (13) on fait a^=zb^, a,=id,, a^=:b^, &c... , on en tirera

Corollaire ^f Si l'on prend pour termes gé- ; néraux des séries (10) j

et /^'(/^' — ') (/^' — 2 ).-..( /^' — »t-i-' ) ^./