I." PARTIE. CHAP. VI

fJi^ jJt^' désignant deux quantités quelconques, et la variable x étant renfermée entre les limites a:=z — i , jri= -H I , chacune des séries ( i o) restera convergente même lorsqu'on réduira ses difFérens termes à ieurs valeurs numériques, et le terme général de la série (12) deviendra

[/UfyM. — i)...(At — n-f-i ) u(tA, — \)...{/u. — n-+-2) fA.' ^ ^ 1 ;; , H . .

/A /^'(,tt'-2)...(u-n-H2) , ^' (y^c -■)... (i/-n-hi) 1 ^, I 1.2.3... («— ' ) 1 . 2 . 5 ... « J

(yt/.H-At-' ) (A<-H-,«'— 1) (.^H-,^ — 2). . .(/^-+-At'— w+i) „•

Cela posé, si l'on appelle Cp(/w,) la somme de la première des séries (10) dans l'hypothèse que l'on vient de faire , c'est-à-dire , si l'on pose

(,5) >(^)=,-H-f.r+ii:ilpl^--^&c...,

les sommes des séries (10) et (12) seront respectivement désignées , dans la même hypothèse , par

Cf)(yM,), <^[f^') et Cf) ( ya -1- /x' ) ; en sorte que l'équation (13) deviendra

(16) q)(/x).(q)(ya') = <:p(^-+-^').

Lorsque dans l'équation (ij) on remplace la somme de la série

par un polynôme composé d'un nombre fini de

termes , on obtient une formule qui ne cesse jamais

d'être exacte , tant que la série

demeure convergente. C'est ce que nous allons prouver directement , en établissant le théorème qui suit.

5.' Théorème. Si , la série (i) étant convergente, on multiplie la somme de cette série par le jjolynome

(17) k x"^ -H /.r'"-' ^^ç^,.,,^px^q,

dans lequel m désigne un nombre entier , on obtiendra pour produit la somme d'une nouvelle série convergente de même forme , dont le terme général sera

( q Cl» -^p «,, -\- ... l a,„^^, -\- k a„,„ )

pourvu que Ion considère comme nulles dajis les rtremiers termes celles des quantités

aui se trouveront affectées d'indices négatifs : en d'autres termes , on aura

{k x^-{-l x""'^ -\- . . .-^p X -^ q) X (aoH-OjXH-a,x^H-&c...)