I." PARTIE. CHAP. VII

au même , ses puissances du degré seront les diverses valeurs de l’expression

°t de même, les puissances fractionnaires de l’unité, positives ou négatives, du degré —, ou — — , seront

i t ■ ‘vn »

es diverses valeurs de

((>))" ou ((.))“".

en conclura que , pour déterminer ces racines ^ ces puissances , il suffit de résoudre , l’un après *utre, les trois problèmes suivans.

l-er Problème. Trouver les diverses valeurs reelles ou imaginaires de ï expression

Solution. Soit x l’une de ces valeurs; et, afin e ta présenter sous la forme générale qui com- Prcnd à-la-fois toutes les quantités réelles et toutes es expressions imaginaires , supposons

X =c r (cos. £-+- j/— i sin. f) ,

Résignant une quantité positive , et t un arc réel. u aura , d’après la définition même de l’expres-

r dé

üon i

(>) ** = 1 qui revient au même ,

rn [eos. nt-t- ]/— ‘ sin. n

198 COURS D’àKALŸSE.

On tirera de Cette dernière équation { à I aide du théorème i.er, §. 2]

cos. n t -+- « sin. n t = * ;

et par suite ,

cos. I , sin. 7lt — O f nt — ^ 1 k TC ,

, lit-r

£ représentant un nombre entier quelconque, quantités r et l étant ainsi déterminées , les divers** valeurs de jc propres à vérifier l équation (1) sein*1 évidemment comprises dans la formule

1 Âr *5r y ■ — x h *ir

(2) .r = cos. — - — =r K” 1 8,n* „ *

En d’autres termes, les diverses valeurs de $0). seront données par l équation

y le HT - 1 i' T

Soit maintenant h le nombre entier le plus riff proche du rapport - ïja différence entre les nombres h, , sera tout au plus égale à ~ i sorte qu’on aura

S- désignant une fraction égale ou inférieure à , * 0