I." PARTIE. CHAP. VII

Supposons maintenant que Ion cherche les racjnes et puissances fractionnaires non plus de unité , mais de la quantité — i . Les racines e cette quantité, ou , ce qui revient au même, ses Puissances du degré seront les diverses valeurs ^ expression

et de même , les puissances fractionnaires de — i ,

Positives ou négatives , du degré ou - — ,

*e,'Ont les diverses valeurs de

conséquence, pour déterminer ces racines et ces Pu,ssances, il suffira de résoudre l’un après l’autre s trois nouveaux problèmes que je vais énoncer.

PROBLÈME. Trouver les diverses valeurs eeHes ou imaginaires de l' expression

Solution. Soit

^ X = r ( tas. t -+- ' sin. t )

de ces valeurs , r désignant une quantité po- 1Ve> et t un arc réel. On aura, d’après la défi-

t niême de Fexpression ((— i )) " ,

( * V) xn ±z - i ,

Ou

’ ce qui revient au même,

r [ cos. nt -t- j/— « sin. n f J = — t.

208 COURS d’analyse.

On tirera de cette dernière équation [ à ï’aide du théorème i 2 ]

rn — i >

cos, nt -4- Y~~~l s‘n- 71 ^ = — 1 »

et par suite ,

cos. nt~— i , sin.7z<=o, nt—àz (ik+ î)^,

Æ représentant un nombre entier quelconque, quantités r et t étant ainsi déterminées, les d1' verses valeurs de .r propres à vérifier l’équation (I r' se trouveront évidemment comprises dans la mule .

•*' = cos- - J— -

En d'autres termes, les diverses, valeurs de ((—0) seront données par lequation

Soit maintenant Æ le nombré entier le plus rappr° ché du rapport 1 * . La différence entre ^ e

deux nombres h , - * sera évidemment u°e

fraction de numérateur impair , inférieure ou t° au plus égale à L* en sorte ' qu on aura