H~ I ) TT
= cos. ± sin.
^ conséquent toutes les valeurs de ((— i)) * seront ^^prises dans la formule
± j/— i sin. — 1 ^ r «
* ron y suppose 2 *'4- 1 renfermé entre les limites ' n> ou> ce qLli revient au même, dans la for-
le U 6 ^ 1 3 ) ’ s* ^on y suPpose 2 Æ-4-1 renfermé entre s blêmes limites.
C°*0LLAI*Ï i.'r Lorsque n est pair, les diverses j. CUl's que 2 Æ-*- 1 peut recevoir, sans sortir des Ites o, n , sont respectivement
SlerChaCUne dG CGS VaIeUFS de 2 1 » fa for*
e(*3) fournit toujours deux valeurs imaginaires
de i,exPression ((— i))\ Par suite, ^pression , dans le cas que nous considérons 'TOm. 1.
ici , n’admet point de valeurs réelles , mais scidc' ment n valeurs imaginairesconjuguces deux à deux, savoir :
| cos.' — — H j/-> sin.~- , cos. — — • sm. % »
| coS. 2 + y~ »». ff , es. £ - jfS •»•£* •
(CQSSr^+v ,8,n ”V'’
Supposons, par exemple, «p 2. On trouvé*
qu’il existe deux valeurs de l'expression J— 0) ^ ou, ce qui revient au même, deux valeurs de propres à vérifier l équation
et que ces valeurs , toutes deux imaginaires ,
respectivement l
<*»■ v -+- V^' ,in- t - ^
coS. T =-/-'•
Supposons encore » — ' 4' On 'erra quil e*
quatre valeurs de l’expression .((-r- 1 y , °u,y^ d’autres termes, quatre valeurs de x propres * rilier l’équation :
1 •“ partie, chap. VII. 211
? C1Ue ces Tatre valeurs sont comprises dans les formules
cos. -J- =fc /-7 sin. -I- „
cos. '3X zt ]/— I sm. £?- 4 4 »
°u » ce qui revient au même, dans la seule formulé
=b cos. ~ zfc j/^T sin. -- . ’
^omme on a d’ailleurs
° cos. — = sm. — = — . .
11 trouvera définitivement
\^°K0L,LAIRE 2/ LorS(îue ” ^ impair, les dide S j S '.a curs <|ue 2^-h- i peut recevoir sans sortir imites o et n, sont respectivement
chacune de ces valeurs de 2Æ-K1 , |a for. ule (13) fournit en général deux valeurs imagi-
^conjugSées de l’expression ((— i)) *, c’est-ànj’ ,CUX ra'",cf miaginaircs de - , conjuguées %e ?re ^ Serment on trouve, pour 2 Æ-h i =n facine unique et réelle, savoir, -i. En ré-
SuRié 1
0rs^l,c n cst impair, l'expression ((— iÿ 1 avec la seule valeur réelle
212 cours d’analyse.
n—1 valeurs imaginaires conjuguées deux à deux,
savoir ,
T e . T TT /* — T j >1 '
cos. sin. — , cos. — — /-T Sin. — ,
cos. s‘n* hï ’ cos* ht - V"~' ?*n- ~n ’
(ti-î)T — . (n — 2)t (w-i)t —
:os. 1 - — 4-/^7 sm. - , cos. — - y/-, jm.
Le nombre total de ces valeurs réelles ou imag1' naires est égal à n.
Supposons, par exemple, w = 3. On trouve**
qu’il existe trois valeurs de f expression ((— 1 ))’ ’ ou, ce qui revient au même, trois valeurs * propres à vérifier l’équation
.et que ces valeurs , dont une est réelle , sont pectivement . ^ ■in'?
cos. j ■+• sm. y = — H - — y-1 ,
x - - .Tl JÎ y -
cos. — — Y~~i sin* ~y — ~~z — ~ y~l
Corollaire j: ' n désignant un nombre ent,eI quelconque, le nombre des valeurs, soit réelle '
Soit imaginaires , de l’expression ((— 1 )) ", ou, ce *1
1"E partie, chap. vu. 213
evient au même , Iç nombre des valeurs de x propres à vérifier I équation xn — — i ^ restera toul°urs égal à n.
^>e Problème. Trouver les diverses valeurs eclles ou imaginaires de V expression
Solution. Les nombres m et n étant supposés Premiers entre eux, on aura, d’après la définition
^ênie de l’expression (( — i )) " ,
en remettant pour (( — {Jj " sa valeur générale fee de I équation (13), 011 trouvera
i'6) . (( — i)) ^~coS.—
0llr déduire de cette dernière formule toutes les
v^eUrs de ((— 1)) ", il ne reste qu’à donner successic ïlent à 1 toutes les valeurs entières et impaires ^0tïlprises entre o et n. Soient 2f + 1 , 2 X*" -4- 1 , JUx de ces valeurs supposées inégales. Je dis que 5 cosinus
*er(
nécessairement diffërens l’un de l’autre. En > ces cosinus ne pourraient devenir égaux que
214 cours d’analyse.
dans le cas où les arcs qui leur correspondent seraient liés entre eux par une équation de la forme
— ± 2 Avr
h désignant un nombre entier. Or , on tire de cette équation
r ± (^'-h t)±çik"~h o j
le
* = — - Vîflf.lfU T
Il faudrait donc, puisque m est premier kn, qué nombre entier
rt ( 2 U -4- i ) ± ( 2 k" i )
fût divisible par n ; ce quon ne saurait admette* attendu que, les nombres 2 k‘ -+- 1 , 2/:"-+- 1 éta*1 inégaux , et chacun d’eux ne pouvant surpasser 11 ’ leur demi-somme, et à plus forte raison leur . différence, est nécessairement inférieure à n. deux valeurs différentes de 2A-W comprises Ç1^ les limites o et n fournissent deux valeurs dJ rentes de
