HÉORÈME. Supposons que dans l expression
a Variable x soit fonction réelle d’une autre vayi'k L Concevons de plus que la variable x soit faction continue de ï dans le voisinage de la valeur Particulière t ~ T, et * (*) fonction continue de x ans le voisinage de la valeur particulière x ~ x, C°rrespondante à t = T. L expression imaginaire considérée comme une fonction de t, sera en - °[e continue par rapport a cette variable dans le °isinage de la valeur particulière t=T.
^ Des Fonctions imaginaires symétriques , alternées f ou homogènes.
^eil^an^ aux fondions imaginaires les défif 1<)ns que nous avons données [chapitre IfT] des jetions symétriques, ou alternées , ou homogènes plusieurs variables x, ij, z on reconnaît im- ^atement que
yfz ...) + %(x, y, z ...)
^l,ne fonction symétrique, ou alternée, ou homo- J0^e degré à par rapport aux variables x,y, z..., que les fonctions réelles
254 cours d’analyse.
homogènes du degré a par rapport à ces même*
variables.
4/ Sur les Fonctions imaginaires et entières d’^ne ou de plusieurs variables.
En vertu de ce qui a été dit ci-dessus [§. i.crJ ’
<?(•*) ■+■ xi*) V~'
et
* ( jc
sont deux fonctions imaginaires et entières, l’une la variable x, l’autre dés variables x, y, z ... , Lof?^
*¥& et xi*)' Qi^’V’ *■■■) et xix’V’z-)
sont des fonctions réelles et entières de çes variables. Pai* suite, si 'sr(x) représente une tion imaginaire et entière de la variablq.r, la de ty (x) sera déterminée par, uue é quation ,4tf forme , . ^
—a0-*-alx-^axx1-+'...+-(bb-+rblx-*-b>x1-i-...) '
a0 , a, , at, ... k0,blf Àa«~~ désignant des consta^^ réelles. On conclura de cette équation , en réull‘ sant les coefliciens des puissances semblables 4® J'f
Pour que la fonction ?? (a:) , déterminée par
!•“ partie, chap. viii. 255
?U,e précédente, s’évanouisse avec x, ii faut que ■on ait ^
cst-à-dire , a„ = o et bQ—o) auquel cas la valeur e (j?) se réduit à
^nsi , toute fonction imaginaire et entière de fa friable x , forsqu’elfe s’évanouit avec cette va- ^le , est le produit du facteur x par une seconde Action de la même espèce , ou , en d’autres termes, e&t divisible par ,r. En partant de cette remarque , !* étendra facilement les théorèmes i et 2 du cha* P^re IV jjj.. i.cr] au cas où les fonctions entières 1 s y trouvent mentionnées sont en même temps ^ aginaires. J ajoute que ces deux théorèmes sub- feront encore , si l’on y remplace les valeurs Particulières et réelles attribuées à la variable x . que
•**0 > , xx , &c. . , . .
Par des valeurs imaginaires
je^Ur démontrer cette assertion , il suffit detabfir s deux propositions suivantes.
c Théorème. Si une fonction imaginaire et le,€ de la vanable x s évanouit pour une valeur
particulière de cette variable , par exemple , pour x — — ct0 -+- ,
cette fonction sera divisible algébriquement pu* x — ct0 — Ç>oy~ T.
Démonstration. En effet, soit «*.(*) = <P (*) -+■ x(æ) Z177
la fonction imaginaire dont il s’agit. Si l’on y fat
s désignant une nouvelle variable , on obtient'* évidemment pour résultat de la substitution lUl(J fonction imaginaire et entière de z f savoir ,
'ST (ct0 -f- £0}/-' -H z) :
et, comme cette fonction de z devra s’évanouir p°ur z = o, on en conclura que
'sr ( x) = 'ZF (<t0 -+• Ê0 j/^7 h- *) est divisible par
Z = JT — Ct0 — £0 j/— i.
Corollaire i?r La proposition précédente sub' siste dans le cas même, où la fonction x(x!) se'*' nouit, c’est-à-dire, dans le cas où se rédult
à une fonction réelle
Corollaire 2/ Le théorème précédent subsiste encore, lorsqu’on suppose €=o , et par cpirôéq11 ■ lorsque la valeur particulière attribuée à la variai x est réelle.
