I.*E PARTIE. CHAP. vrn. 2GI

belles ou imaginaires des variables, des fonctions, des constantes. Ainsi, par exemple , on reconnaîtra en particulier que lequation (6) du 3.* paragraphe,

j.iL . y.T* .. y"

,eu pour des valeurs imaginaires quelconques des tables' x et y.

• Détermination des Fonctions imaginaires continues d une seule variable propres à vérifier certaines Conditions.

•sr(.r)= <J>(.r)-H £(.»•)

- fonction imaginaire continue <Ic la variable .r, Jv et xi*) désignant deux fonctions continues, s; réelles. La fonction imaginaire 'ar(.r) sera aP,Iétement déterminée, si elle est assujettie à k . Ier> pour toutes les valeurs réelles possibles des laules x et y , l’une des équations

'&(x-*-y) = 'ar(x) H- 'Sr(y) ,

<ies IeM ’ Pour toutes les valeurs réelles et positives ^émes variables , l’une des équatious suivantes

262 cours d’analvSR.

(3) 'sr(.ry) = '5r(. r)-t-'sr(y),

(4) 'sr (xy) = '& (x) x ts- (y).

Nous allons résoudre successivement ces quatre équations, ce qui nous fournira quatre problème5 analogues à ceux que nous avons déjà traités dan5 le 1 .er paragraphe du V.e chapitre.

l.er Problème. Déterminer la fonction irrité1 nairc v(x) de manière quelle reste continue evfl* deux limites réelles quelconques de la variable s> et que Von ait, pour toutes les valeurs réelles deS variables x et y,

(1) 'ar(or-Hy) = *ar {x) -+- as- (y).

Solution. Si , à l’aide de la formule

on remplace dans l’équation (1) la fonction itf1®# narre 'ur par les fonctions réelles <p et cettt équation deviendra

9 (x-r-yH-x (*•+*) • /=■* = <P (x) -+-XOO i/^7 ■+• P(ÿ)-r-X (?) /"*

puis l’on eu conclura, en égalant de part et dallt‘ les parties réelles et les coefficiens de »

<p(.r-f-y) = Cp(a:)-f.Cp(y),

On tirera de ces dernières formules [ voyez Ie ^ pitre V, §* 1, i .er problème]