I." PARTIE. CHAP. VIII

e* par suite

Qu > ce qui revient au même ,

(6) 'Qr(.r) = x'G’ (1).

Il suit de l’équation (5) que toute valeur de 'zsr(.r) Propre à résoudre la question proposée est nécesr* Virement de la forme

désignant deux quantités constantes. Il est urs facile de s’assurer qu’une semblable valeur j e “O* (.r) vérifie l’équation ( 1 ) , quelles que soient deux quantités a et b, Ces quantités sont donc eu* constantes arbitraires.

Qn peut remarquer que, pour obtenir la valeur ^cédente de '&[x)y il suffit de remj)Iacer, dans la V^eUr de <p(.r) que fournit l’équation (7) du V.c C ‘apitre [j. i.<r], la constante arbitraire et réelle a ta constante arbitraire , mais imaginaire ,

^ Problème. Déterminer la fonction imagi- ^ r° *» (*) de manière quelle reste continue entre limites réelles quelconques de la variable x , (lUe l*on ait, pour toutes les valeurs réelles des

264 cours d’analyse.

SOLUTION. Si dans Iequation (2) on fait-r^0* on en tirera

•ar (o) = I ,

ou , ce qui revient au même [à cause de la fon®^*

'sr(x) = q> (*)-*- x(x) ] ,

et par suite

La fonction Cp (.r) se réduira donc à Iunité pour ^ valeur particulière o attribuée à la variable x) puisqu’on la suppose continue entre des limites qü^* conques, il est clair quelle sera, dans le voisiné de cette valeur particulière , très-peu différente ^ Tunité, par conséquent positive. On pourra doUc’ en désignant par cl un nombre très -petit, cbo^ ce nombre de manière que la fonction Cp(^) rcstC constamment positive entre les limites

x — o , x — cl.

Cette condition étant remplie , comme la quaid,tc <J>M sera elle-même positive , si l’on fait

/ ~ /[(<?*)* ■+• (%*)*] > £== arc tang. ’

on en conclura

*{*) - <?(*)-*-% W VFx =f !>• £+vF sin* Q

i.mr partis. cnAp. vin. 265 Concevons maintenant que dans I équation (2) 0ri remplace successivement y par y+z , puis z par z~*~u , &c....; on en déduira

w(-r+yn-z+ - ) = 'sr &)4&'(y),B‘{z) ,

^uel qUe soit jc nombre des variable» x, ij, z, &c... 1 (ie plus on désigne par m ce même nombre , et 'l11® l’on fasse

X — y = z — &C... = CL ,

Quation qu’on vient de trouver donnera *sr (fnctj ['Z*r(cc)]m = ÿm [cos. m £-+• j/^7 sin.

a/°ute que la formule

= f" [cos. m Ç -4- |/~ sin. mÇ\

ti^ a encore, si Ion y remplace le nombre enr ni par une fraction ou même par un nombre . ^conque /x. C’est ce que l’on prouvera facilee,,t ainsi qu’il suit.

0 dans 1 équation (2) on fait x = y = ^<t,

n °n tirera

Kt *)] = ®" (*) =/ [cos-(-*- Y~' ».{] ;

j?U,s » en extrayant les racines carrées des deux pOif* ^ man‘ère <lue *és Parties réelles soient C08Slt,Ves, et observant que les deux fonctions <p(x), 4.^ restent positives, la première entre les limites ^r==£t* la seconde entre les limites x=o , "" V ou trouvera

cours d’analyse.

= / 1 [cm. -t j/^T «in. -[■]•

De même, si dans l’équation (2) on fait y=;^cc, on en tirera

[^(j *•)]’ =®'(tii)=/‘ [c°s- 4 •+- v/rT sin- 4] 1

puis, en extrayant les racines carrées des deu* membres de manière à obtenir des parties récHe5 positives ,

'ar (? *0 ' [CM‘ 4"1- V'V: 4]'

Par des raisonnemens semblables, on établira siiC' cessivement les formules

^r(ia)-fs tcos- 4 y'~ sin- t] •

kc . ;

et, en général, n désignant un nombre entier qllC^ conque ,

Si Ton opère sur la valeur précédente de -u (j^ *) pour en déduire celle de 'zz,(^ir(i}j , comme on 41 opéré sur la valeur de 'sr(ct) pour en déduire ce^