I.” PARTIE. CHAP. VIII

,3.c Problème. Déterminer la fonction imaginaire ©•(*) de manière quelle reste continue entre Cux limites positives quelconques de la variable x, ™ que l’on ait, pour toutes les valeurs positives des Variables x et' y,

( 3 ) ,zsr (.r y) = 'a r (x) -+- 'tsr {y).

Solution. Si, à laide de la formule

*&{£) = 4î^xHy^.?A . ,,‘i

0ïi remplace dans i équation (3) ia fonction imagi- |Jaire 'zsr par les fonctions réelles <f> et puis , que °n égaie de part et d’autre les parties réelles et les c°0flicien^ de ÿf-i , 011 trouvera

!<P (^ÿj - (•*)' -+- Ç (y) ,

1 de piuW on désigne par A un nombre quelconque, et par L ia caractéristique des logarithmes dans ?e Sterne dont la basé ést A, ôn tirera déé équations ^cédentes [voy. lp chapitre V, , J. 1 .er, 3.' probl.]

cp(x) = q>(A).L(x),

^ ^°n en conclura

Ql| . .

» ce qui revient au même ,

(.5) ■zsr{x)=-nr\A).L{x).

Il suit de la tornmj(-(i 4) que toute valeur de xf{x) propre à résoudre la question proposée est née**' s; tire me ut de la forme

a, b désignant deux quantités constantes. H est d’a^' leurs facile de s’assurer qu’une semblable valeur & ^(x) vérifie l’équation (3), quelles que soient quantités «-et b. Ces quantités sont donc deux cofl5' tantes arbitraires.

On peut remarquer que , pour obtenir la rb\eljr précédente de ^(#)-, 41 suffit de remplacer } dan5^ valeur tIe-Çf>( a?) qjLie fournit l’éqviation (t!Ü) dd ^; chapitre [§. 1 .er] , 4a constante arbitraire ét réeHe (1 par la constante arbitraire , mais imaginaire ,

a H- b y CT7.

Nota. On pourrait arriver trçs^iipplppmnt quation ( 1 5) de la manière suivante.

En vertu des formules identiques

x = A , y réquation (3) devient

<r ( A * ’+:^ = + éS n

jrmrnun in r

Comme dans cette derpière les quantités variab‘c Lxj Ly admettent des valeurs réelles quelci)nql,t>* positives ou négatives, ii en résulte qu’on qurai P°U‘

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