I." PARTIE. CHAP. IX

1 .'r Théorème. Lorsque les dijferens ternies de a sérié (3) sont des fonctions d'une même variable z> continues par rapport à cette variable dans le v°isuiage d’une valeur particulière pour laquelle c°tte série est convergente , la somme s de la, série €st aussi , dans )e voisinage de cette valeur particuhère f fonction continue de z.

DÉMONSTHAÎWiï* Ert èffef, dans le voisinage ^ la valeur particulière attribuée à la variable z ,

4 série (jj) ne peut être convergente et avoir pour Ses différons termes des fonctions continues de z, jlu autant que les séries réelles (i) et (2) jouissent

ane et l’autre des mêmes propriétés : or, dans cette ypothèse, chacune des sommes

q . q, écc. . . .

^tarrt [ en vertu dti î théorèfne , chap. VI, J- 1 •"] fiction continue de la variable z, il en résulte que H soninrë de la<série (3), sàvoir,

5 ^(po+p , -+#.4 ..)-+■ \q0+q jAm

Sora aussi fonction continue de ceUe variable. Supposons maintenant que l’on désigne par

°s uioduïes des différens termes de la série (3) , et par

*in.90 , ,

. *in-0, » &c.

280 COURS d’analyse.

les expressions réduites Correspondantes , en sorte

qu’on ait généralement

Pn <]„ ï/-* = fn (C»S-9» •**> Y~' «”• A.)- La sérié (3) deviendra

( /Mijtâ-fJ+ÿ*-* *ia. Q t)/ ...... J>„(c06$n-t~y/~, Stn.Q„), &c‘‘

et Ion pourra ordinairement décider si cette séde est convergente ou divergente , à l’aide du théoi’ènlC que je vais énoncer.

2.e Théorème. Cherchez la limite ou les li/»llcS vers lesquelles converge , tandis que n croit

fini ment , l’ e.r pression (/w) * . Suivant que la grande de ces limites Scia inférieure ou supéric a limite , la série (3) sera convergente ou dii'L’r‘ gettie. \ m i; , •- tMtr.sv ^.1, *.,* :>,M .

Démonstration. Considérons d’abord \c fl1*

où les plus grandes valeurs de l'expression (/*J convergent, tandis que « croît indéfiniment» ve,S urië limite inferieure à I*i ;nit<*. Dans ce cas, la M‘l'<

(l3)< A, ••• fn,

étant convergente [chap. Vl; $ 2 , 1 .'r théorènte] > les séries ..

{ J>o COS. 9 a , Jf , COS. 9 , , J>z COS. 9, , ... J>n OOS.9„ » ‘ ‘ *

* ( J>c sin- 0V, «in- (b » . . J>n »*»• » &f " '