I.“ PARTIE. CHAP. IX

*e seront également [chap. VI, §. 3 , 4/ théorème] ; ** la convergence de ces dernières entraînera celle e ,a série (12), qui n’est que la série (3) présentée S°Us une autre forme.

Supposons en second lieu que , pour des valeurs

Poissantes de n , les plus grandes valeurs de ( fn ) " PRîvergent vers une limite supérieure à l’unité.

a,is cette hypothèse on prouvera , par un raisonnaient semblable à celui que nous avons employé atis le VL* chapitre [§. 2 , 1 ." théorème] , que les Pliis grandes valeurs du module

fn = {Pn^qnlY

Poissent avec, n au-delà de toute limite , ce qui ne être vrai qu’autant que les plus grandes valeurs ^ deux quantités pn , qn; ou nu moins de l’une ^tre elles , croissent de même -indéfiniment. Or , Poiine ces deux quantités sont les termes généraux ^ * Séries (i,) et (a), on doit conclure, que de ces séries , l’une au moins est divergente ; ce qui ^it pour assurer la divergence de la série (3).

Sciiolie j/r Le théorème qu’on vient, d’établir laisse d'incertitude sur la convergence ou la |Vei‘geuce d’une série imaginaire que dans le cas 'boulier où la limite des plus grandes valeurs de

1^") devient égale à l’unité. Dans ce cas particu- ^ u est, pas toujours facile de décider la quesn- 1 outefois 011 peut allumer que, si la série (1 3)

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est convergente , les séries{r 4) et par suite la séi’ie (12) le seront pareillement. La réciproque nest paS vraie, et il pourrait arriver que, la série (12) restai convergente, la série (13) fût divergente. Ainsi* exemple , si l’on suppose

on obtiendra, à la place des séries (i.2),et (.13)* deux suivantes

./ri, — h! ^c-

dont la seconde est divergente, tandis que la pre' mière reste convergente, et a pour somme

/ désignant la caractéristique des logarithmes n^‘ périens.

ScHOtïE 2 * Lorsque , pour des valeurs cr<>1$ santés de n, le rapport

-s’approche indéfiniment’ d’une limite fi te > limite est également belle vers laquelle convergé

les plus grandes valeurs de l’expression (/#) ‘ ' ^ Le 5 / théorème du 3 /paragraphe [chap. VI] évidemment applicable aux sériés imaginaires bien qu’aux séritsirédlcs. Quant au théorème 6*