I.“ PARTIR. CHAP. IX

^me paragraphe , on doit , lorsqu’il est question séries imaginaires , le remplacer par le suivant. 3.* Théorème. Soient

h. , «, » «. > •••;• Un>

\ Vo y vi » t ..... ,, &C. . . . ,

(}eMæ séries convergentes , mais imaginaires, qui n*ent respectivement pour sommes s et s. Si eha - Cllne dè ces séries reste convergente lonpion ré - ^ it ses différons termes à le un modules respectifs,

/ ( u0Vo> n,v,-^u,v0t u0p%+u,vt-i-u^vmt ...

' te£)

nouvelle série convergente imaginaire , ri^1 aura pour somme s s'.

Démon ST r atjon. Désignons respectivement sj, » £ „ fos sommes dos n premiers- termes des ,IcUx séries (i 5), et par s„" la somme des n premiers terRtes de la série (16). On trouvera

*”Sn'—Sn" = U„, Vn t -H (tt*4, V„ "H VA.) -h. .

. . . -t- ( un tv l-+- un^ v x-r...-^-u^v u

^ésignoiîS encore par et f j les. modules des ^pressions imaginaires uà et vn, en sorte que ces ^xPressions soient déterminées par des équations de

a forme

U n — p n (cos. G„ *+- |/^T sin. G* ) ♦

\\ =r ÿ m («os. b ' „ -H y'— > si“* b *).

284 COURS d’analyse.

Les séries réelles

/• » fi » /* > ••• &îc.../

étant convergentes par hypothèse , on en conclut » comme dans le chapitre VI [§. 3 , 6.c théorème]* que la somme

converge , pour des valeurs croissantes de ver* la limite zéro. Il en sera de même à fortiori àe* deux sommes

cos.(9,wj t )

^ *■*“ C08‘ 0' «-*) h- «Pu-* y oos.(0^a-+.0'

et

-P»-» / —> *in- (0«r, ■+• 6'^, )

■ • • H- J>x J>,2 sin.O, -4- J ’

ilont la première représente évidemment la pai’tlC réelle de l’expression imaginaire