I.“ PARTIE. CHAP. IX

*andis que la seconde représente le coefficient de VS1 dans cette expression. Par suite , s s 'n — s"m c°n vengera aussi, pour des valeurs croissantes de y vers la limite zéro : et, comme s„s„' rapproche Indé6niment de la limite ss[, il faudra de toute Nécessité que l’expression sn"., ç’çst-à-dire , la somme t*°s n premiers termes de la série ( 1 6) , s’approche eMe-même indéfiniment de cette dernière limite. Il résulte , 1 que la série ( 1 6 ) est convergente , ** que cette série convergente a pour somme ss\

S- 2.e Des Séries imaginaires ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d’une variable.

Soit x une variable imaginaire. Toute série imal^ftaire ordonnée suivant les puissances ascendantes entières de la variable x sera de la forme

ao bQ , (al }/^i)x, ....

«V at » ax> an> • 5 Kibt,bx ... bn, &c..., joignant deux suites de quantités constantes. Dans e cas où les constantes de la seconde suite s’eva- ^°uissent, la . série précédente se réduit à

(0 a9l a,x, axx% , .... anx\ &c....

^°U$ considérerons en particulier dans ce para- ^laphe les séries de cette dernière espèce. Si, pour ** Us de commodité, l’on pose

286 cours d’analyse.

(2) X = Z (cos. 9 H- j/— i sin. 8 ) ,

z désignant une variable réelle et 8 un arc féel > l* série (1) deviendra

a», «.«(cos.J-f-y/ZTTsin.O), ai*\cos.29-4-j)/ZTan»-*^''‘ ... anzH (cos.n0-|-y/H7 «in.n0) , &c .

Soit maintenant , comme dans le chapitre Vï [S* 4 j» la plus grande des limites vers lesquell05 converge, tandis que n croit indéfiniment, la raci»0 n.mr de la valeur numérique de an. La plus grand6 des limites, vers lesquelles convergera dans la mè&e hypothèse la racine n™‘ du module de l'expresa»01* imaginaire • ... -nrslicv

cinxn = anzn (cos. n 8 -+- j/^t sin. n 9), sera équivalente à la valeur numérique du produit

et en con séquence [vay. ci-dessus Ie§. 1 z.e théofj la série (3) sera convergente ou divergente suiv*flt que le produit Az aura une valeur numérique ifl®" rieure ou supérieure à l’unité. On déduit immédi»' tcgient de cette remarque la proposition suivante-

1." Théorème. La série (3) est convergé pour toutes les valeurs de z comprises entre Ie* limites

et divergente pour toutes les valeurs de z siluee*