I.“ PARTIE. CHAP. rx

^l0rs des mêmes limites. En d’autres tenues , la serie (i) est convergente ou divergente suivant que ^ '•nodule de ï expression imaginaire x est inférieur °lL supérieur à .

Scholie. Lorsque !a valeur numérique du rapport ■ converge , pour des valeurs croissantes n, vers une limite fixe, cette limite est préciseront la valeur de la quantité positive désignée par

Corollaire i/r En comparant le théorème présent au i.cP théorème du chapitre VI [§. 4]> on Connaîtra <jue ,- si fa série (1) est convergente pour |Jne certaine valeur réelle de la variable x , elle e|Oçurèra convergente pour toute- valeur imagijTire dont cette valeur réelle serait, au signe près, 0 Module. Par suite, si la série (i) est convergente toutes les valeurs réelles de la variable x, elfe Estera convergente, quelle que soit la valeur ima- IPnaire que J’ori attribue à. cette variable. x Corollaire 2* Pour appliquer le premier tliéofliïïlo et le précédent corollaire , considérons les Wtre séries

(5) i£fi=

x\kc. ,

288 cours d’analyse.

f* désignant dans la seconde une quantité que^ conque. De ces quatre séries les deux premières i ainsi que la derniere , restent convergentes p°ur toutes les valeurs réelles de x comprises entre Ie5 limites

et la troisième pour des valeurs réelles quelconquCÎ de la variable x. Mais si , au lieu d’attribuer à $ une valeur réelle , on suppose

x — z (cos. 0 -+- 7 si n. 0 ) ,

à la place de ces quatre séries , on obtiendra ^ suivantes

i, z (cos. SH-y^HTsin.O) , z* (cos. z 0-+-|/tTÏ sin. 20) • *'

. . . z" (cos. nQ-l-y/^17 siu.nÇ) > &C .

1 , ~ 2(C0S.B+y/ir7 jin.8) , — 7 ■ '

f g (cos. ain.Q] z1(on<i <in. . .»»

Z9 (cos.n0 H- i/~ sin.rÇ) e

• • • * - - - - , occ .

f - (cos. 0-4-|/ZT7 sin. 0) z1 (cos. iQ -f- ^/H7 >

lO 1 a

| -f- (co*-"9 -f- y/— I sin.n0) ^

Jout les deux premières et la dernière rester®1

lll*

i." PA ft Ti£. LH AP. IX. ijjjg

er»nvergcntos pour toutes les valeurs de s comprises ^ntre ies limites

SSP.!**"* 1 V 3 -f. I , : ,

tan<î,s 1,re l’avant- dernière sera toujours conver- 8ente, quelle que soit la valeur réelle de -

Après avoir lixc les! imites , entré lesquelles il faut 1 enfermer z pourfendre la série ergote , n°us' ^onons remarquer qu’en vertu des ’prhtefpes ^abhs dans le paragraphe précédent les théorèmes 3- , j. et 5‘Adii chapitre M f§. \ ]:, avec leurs éo- ° lajres , peu vent, être étendus au cas où la variable T imaginaire. On devra seulement admettre ,

ans ^ énoncé du 4*e théorème, (jue chacune des séries

. / a0} aæ, at.v', &c

c > brxf bxx' y <!vc. . i .

convergente lorsqu’on réduit ses différons e|’»nes non plus à leurs valeurs numériques , mais * ntodtiles respectifs. Cela posé, si l’on désigne ,î* ^ ce devient le second membre de ^nation (r^jjchap. VI, §. 4], lorsqu’on attribue 'c *a valeur imaginaire

^ z (cos. 9 -+- |/— i sin. ô) ,

11 ’ eh d’autres termes, si i’on fait *

f* 5(cOS.'0H-/r7MR. 0)

“77; - - (co«. 20 «iD.aBj-i-iic..,

Tom. i. T

tà \ fx) *a=

â&O CO UU S D \N AL Y S K.

cm trouvera , au lieu de la formule (i6)[chap. ^

4]> la suivante

(13) -sr(;a) '5r(^') = 'sr (//.-+-//).

Il est essentiel de remarquer que cette dernière formule subsistera uniquement pour les valeurs df z comprises entre les limites z — — i , ^ et qu’entre ces limites la fonction imaginaire ^(d’c’est-à-dire , la somme de la série {9) sera en mém<\ temps continue par rapport à z et par rapport à f* [voyez ci-dessus le §. 1 , 1." théoFeme].

Concev ons à présent qu’au lieu de la série (9) 01 1 considère généralement la série (3)» T,c cette dernière on fasse varier la valeur de z par deg1 e§ insensibles. Tant que la série (3^ sera convergent^’ c’est-à-dire , tant que la valeur de z restera comp*'1?1 entre les limites

la somme de la série sera une fonction imagi*^ continue de la variable z. Soit 'zsrÇs) cette fonet** .continue. L’équation

éff (z~) = a0-\-a ^(cos.ÿ — i \COS. a9 -+- ^ — 8,11

subsistera pour toutes les valeurs de z renfet entre les limites — -h~; ce que nouf.i11^ querons en écrivant ces limites à côté, de la ser*f comme on le voii ici :