I.” PARTIE. CH AP. IX

'.-y “ arc tang. - - - 7-.

' p 1 H- COB. 0

k* maintenant 011 fait décroître indéfiniment dans Quation (2$) la valeur numérique de et, on trouv<?r*, en passant aux limites,

( 1 H- —■ (cos.0 -4- y/~\ sin.0) -1- (cos. a0 y^HÏ sin. *0)

*7) ; ■*"- , .V73 (cos- 30 si“- . { 3 =H1 oo j

I = lirn. £(i-+.2<x.2 cos.0-+-a*.s*) Tï ^cos. ^ -f-y/ZTT sin. J .

jll r(,ste à chercher la limite du produit

‘!l(I-+-2ct£cos.0-l-ct1,ô1) ^cos. — -H- y/ — 1 sin. ,

et pàr conséquent celle de chacune des quantités

(l -+- 2 et Z cos.0 -+- et* -3*) ** ,

^r> en premier lieu, si l’on fait

2 CLZ cos. 0 -+* et* Z% =3= (o ,

0,i °n conclura

1 "l~2ot J3COS.D -+* et

Par suite

^-1 lim. ^2 cos. 0-1-

300 cours d’analyse.

De plus, ïa valeur de s donnée par l’équation (26) étant inliniment petite , le rapport

tang. s

aura pour limite l’miité; et, comme on tire quation (26)

de 1^'

tang. s z sin. 0

et i -+-etz cos.0 '

s s z sin. 0

a. tang. s * i -+- cos.0 ’

on trouvera, en passant aux limites,

lim. — z sin- 0-

Cela posé, il est clair que le second membre de 1* quation (2 5 ) aura pour limite l’expression imaginé

e ~ co? £ cos. (jZ sin. 0) y/—» sin. (.3 sin. 0 ) J ,

en sorte que la formule (27) deviendra

( I -J- — (cos. 9 -+- »i»i-0)>+- 1 (COS.10-+- 1 /^» 5,D"^

(2 \ -*-&C . . | . gafCpl

I = e~ C°^ [cos. (2 sin.0) -+- sia. (z srn.0)]

la valeur de la variable réelle z étant complète11101 arbitraire * puisqu’elle peut être choisie à voie entre les valeurs extrêmes s = — 00 , z=^-^ Corollaire i/r. Si, en comparant les deu^ membres de l’équation (28), on égale de p8**

I be PAftTïtf. CH AP. IX. 301

tl’;tuti-e i.° les parties réelles, 2.0 les coelHeiens de , on obtiendra les deux équations réelles

f I H - — COS. 0-1 - cos. 26 -+* &c. . . .

, J ’ eaCOS'® COS. (^ sin. ô) ) jj:=— cc|

^ — * e -c«s ô sjn. (^z sin. 0).

Corollaire 2* Si l’on suppose ô = — , ou, ce <]ui revient au même, cos. ô = o, sin. 6= 1 , les G(JUations (29) deviendront

. i - , - — - &C... =cos.

- - - h &C.... sin.

= -eôoi

Les dernières subsistant , aussi bien que les équations (29), pour des valeurs réelles quelconques de *> il en résulte que les fonctions sin. z et cos. z sont toujours développables en séries ordonnées suivant *Gs puissances ascendantes de la variable quelles Enferment. Comme cette proposition mérite détre arquée , je vais la démontrer ici directement.

La série

etant convergente pour toutes les valeurs réelles Possibles de la variable x , restera convergent [en 'ortu du 1 ,er théorème , corollaire i.er] pour «le»

302 cours d’analyse.

valeurs imaginaires quelconques de cette nièfltf variable. Si ion multiplie la somme de cette série par la somme de la série semblable

en ayant egard à-la-fois au 3/ théorème du prenii^* paragraphe, et à la formule (6) du VIII. * chapitré [S- 4J> on trouvera, pour toutes les valeurs' poS" ) sibles réelles ou imaginaires attribuées à ,r et à y/

&c- ••) ( 1 -v-’-f 7^ ^ &cl) ^ -i^L + : ''Jh

Lorsque, dans l’équation qui précède, ori rempli c<^ u' par jc |/-i et y par y j/-. , on obtient la suivant

__ r J j*H*yjÿw. __ f (|

dans laquelle on pourra , si Ton veut, supp^ réelles les variables ^ et y. Faisons, dans ûette bf pothèse, . 41

* tu r. t . j

L’ équation (3 2) deviendra

y^\y) jXÿ : 'ûr('V-t-y) ;