e Problème. Trouver la somme de la série

[l 1) i 7(C0S^'K/“" "“-9)» ~y(coS.2Ô-+-/^7 sin.20), | *+■ y (cos. 38 H- y/^Tsirt.jÔ), &C. . . .

ans le cas où ton attribue à la variable z une

VQleur comprise entre les limites z — — 1 , z — -+- 1.

Solution . Si ion prend à l’ordinaire la lettre / j*°Ur la caractéristique des logarithmes népériens, n aura

, Par suite iequation (21) pourra être mise sous forme

P 1)<j (coi.itf~h/ZT «in.ifl)

e 1'“ 5 eos.^H-^*) r

L cos. -+• y'»-, sin. /us],

kv

a eiu- de s étant toujours donnée par la formule TOM. 1. v

30 6 cours d’analyse.

(18). Si dans I équation précédente on développa les deux facteurs du second membre en séries cofl' vergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de y,} puis, que ion effectue le produit de» deux développcmens à l’aide de la formule (3 1), on trouvera

I -+- — Z (cos.0-4-y/ZT7 sin.0) — - z* (cos. 20-f-y/lT7 sin.4)

= I -ï - ^ [ T ^ ( 1 2 z cos- 6 3* ) -*- S ;/— 1 ]

-H [7/(1 -H 2 Z cos. Ô -H S y/—* y *+• &c,,‘

Enfin , si, après avoir retranché l’unité de chaqlit membre , puis divisé les deux membres par y * 0,1 fait converger la quantité y vers la limite zéro , ü,) obtiendra l’équation

| — (cos. 0 -h y/^T sin. 0) - (cos. 1 0 -J- y/HT sin.

[ = 7 l ^ î + 2 Z ÇOS. ô -H ) *+■ S y/— 1 y

la valeur de s devant être , comme dans lequatio1 (21), comprise entre les deux limites

— 1 et -h 1 .

Corollaire i.tr Si l’on égale, dans les deu membres de l’équation (37), i.° les parties réeÏÏcSl

t.RE PARTIE. CHAP. IX.

les coefficiens de , et que l’on remette P°u»' s sa valeur déterminée par la formule (18), °n obtiendra les deux équations réelles

— cos. 0 - — cos. 20 H- -

= 7 / ( 1 -h 2 z cos.

-cos. 35 — &c.. ,

— arc tan£.

sin. ’fi H - — 6in. 39 &c..

JS. 0

Corollaire 2 / Si l’on suppose ô = ou, ce ^ui revient au même, cos. ô = 0 , sin. ô = 1 , la sec°ftde des équations (3 B) deviendra

, ‘ &c* • » = arc tang. Z. \ )

^.a S(^r*e qui forme le premier membre de cette derl0re équation étant convergente non -seulement J?Ur toute valeur numérique de s inférieure à l’umais aussi lorsqu’on suppose z'=? 1 [Voyez le |, ^ pitre VI, J. 3,3 / théorème], il en résulte que ^'tiition subsistera dans cette dernière hypothèse ;

conimc on a d’ailleurs

arc tang. (l) = ~ conclura

fotmule (4o) peut servir à calculer par approxi-

308 cours d’analyse.

mation la valeur de tt , c’est-à-dire , le rapport àfi

la circonférence au diamètre.

5- 3.' Notations employées pour représenter quelqueS Fonctions imaginaires auxquelles on est conduit ],a1 la sommation des séries convergentes. Proprie1** de ces unièmes Fonctions. *

Considérons les six notations #

A* f sin. X t cos. X ,