I." PARTIE. CHAP. IX

= L {-<*.- € yœfjqt £^Uf ,

Kn d’autres tenues , suivant que la partie rédle 'l'une expression imaginaire représentée par x sera positive ou négative, on aura.

(37) .VjW-UO + £|, )£(,)* .

OU bien

, ;!(3 8) tfàÀL -M) + z. ((-, J) ^ «

^désignant un «ombre entier quelconque. On peut ajouter que des deux formules précédentes la première subsiste pour toutes les valeurs réelles posit,v es de la variable jc , et la seconde pour toutes les Valeurs réelles négatives de la même variable.

Après avoir Calculé les divers logarithmes de expression ipiaginaire

x = cl Ç j/— 7 ;

^posons-nous de trouver les arcs imaginaires °nl le cosinus est égal à æ. Si ton désigne par

arc cos. (^)) .== W + ï f/~

Ul1 qudeonque de ccs arcs, on aura, pour déter* ,,ler u-hv y/—j , f équation

K. cos. ( u-h w-j/Hï) = et -h £j/CT ,

jjà?’ Ce qui rèviëût au même, la suivante

324' cours d’analyse.

laquelle se divise en deux autres., savoir ,

(/±o) ~~ — - cos .1/4= et, - - - sin. W — — y>i

A ces dernières on peut substituer le système équivalent des deux formules

(40 e ; COS. U Stu. U ’ COS. U si». U

De plus , si l’on élimine v entre les formules (*4 0 ^ on en tirera successivement

cos. U sin. u

sin.+ îr — (l 7- cL% — £*) sin.1 U — = O ;

puis, en observant que sin.1 u est nécessairement une quantité positive ,

sin.‘ U = ■ ~ U [(' ~2 ,° )

On aura par suite ( è'

et, comme [en vertu de la première des équation* (4°)] cos* u et * doivent être de même signe , °p trouvera, en extrayant les racines carrées ,

(/l2)cos'“~ 1^-^

Cela posé , si Ton fait pour plus de commodité

■ ( U -= o rc cos. - — - j - - *

°» conclura des équations (4i) et (^2)

(44) U =: ±: U ±: 2 /cvr , v ~±: V f

k désignant un nombre entier quelconque, et les .eu* ^ttres U , r devant être affectées du même s,gne; en sorte qu’on aura définitivement

(45) arc cos. ([xjj = ifc 2 <(* 7T rfc ( £7 F /-T).

^«u mi les diverses- valeurs de arc cos. ((^ que fournit équation précédente , la plus simple est celle qu’on tient eu posant A = o dans le premier terme du ^cond membre , et prenant l’autre terme avec le tjgue -h. Nous la désignerons . à l’aide de pareilieses simples , et nous écrirons en conséquence

arc cos. {x) — : U -+-

°U même, en supprimant tout-à-fait les parenthèses, '^) arc cos. x = U V |/~7.

Jé*°? le cas particulier où, € étant nul, la quan- 4 rÇste comprise entre les limites + ja ^ (4<S) réduit , comme 011 devait s’y atten-

e> à 1 équation identique

arc cos. et r= arc cos. et.

Utr<‘ Part» si 1 on observe querfc 2X 7 r représente Quelconque des arcs qui ont l’unité pour cosinus.,

326 cours d’asalysiï

on reconnaîtra que i équation (4s)Peut être, mis® sous la forme

(4y) arc cos. (^rj) = ±: arc cos. X -+- arc cos. ((l )).

Il est encore essentiel de remarquer que , dans le ca* où l’on suppose £=• o , et la valeur numérique dé <*supérieure à l’unité , l’ex-pressiou

obtient toujours une valeur imaginaire. Cette valeur ^ra donnée par lequation

(48) arc cos. et -= l (et) * y'' — 1

si et est positif, et par la suivante I

(49) »rc CO». *. = -WH- /(— *).\/~ï=a [ / ( — ifc) — * (

si et devient négatif.

Considérons maintenant les arcs imaginaires dçflf le sinus est a'=et-+-C/:=^. Si fon désigne un quc1' conque de ces arcs par

arc sin. ((j”)) = II-*- P |/— 1 ,

on trouvera [en ayant égard à la seconde des éq°* lions (9)] /

X — sin. {u-*-V j/-1).— cos. — u v J » et l’on en conclura

(50) arcsin.((^= 1 = arc cos.f^

Si dans la formule précédente otl substitue lr* verses valeurs de arcéofe. fâjf t dont Fuite a été