I."E TAfîTÎE. CITAP. IX

s,gnée par la notation *re cos. (or) ou arc cos. x , on ^tiendra les diverses valeurs de arc si», ((.r)) , dont ^ Unc sci a désignée par la notation arc sin. (.r) ou *rc sin. x , et déterminée par 1 équation

(5 ï) arc sin. X =± ~ — arc cos. x.

A l’aide des principes que nous venons d établir, est aisé de reconnaître les propriétés les plus essentielles dont jouissent les fonctions de la variable ^naginaire x représentées par les notations

• L*x , arc cos. X } arc sin. X.

^°ur obtenir ces propriétés , il suffit détendre les formules que ces fonctions vérifient dans le cas où u variable x est réelle, au cas où la variable de- ',('üt imaginaire. Cette extension «'effectué d’ordi- ^ire sans difficulté pour chacune des trois fonctions

Ax , cos. X f sin. X.

^»si, par exemple, A, B, C, .... désignant plus,c‘ürs nombres , on prouvera facilement que les Rations

(Sa) J = ^'n~r

J Ax. Bx . Cx .... = (ABC. ..y,

(S3)| cos* (•*"*" 30 = cos. cos. y — sin. .r sin. y,

( sin. (a? -h y) == sin. x cos .y sin. y cos.x

SuWstcüt également pour des valeurs réelles et Pour des valeurs imaginaires quelconques des va-

328 cours d’analyse.

riables x , y y z, ... Mais, si l’on considère des formules dans lesquelles entrent les fonctions inverses"

L,X , arc cos. X, arcsin.#,

on trouvera le plus souvent que ces formules, étendues au cas ou les variables deviennent imaginaires» ne subsistent plus qu’avec des restrictions considérables, et pour certaines valeurs des variables dont il s’agit. Par exemple, si Ion fait

* — *■+•&/— 7, y — a.'-b,Ç'v C7, z = ei'-^C y/~i , &c . . -

et, si Ion désigne par jll une quantité réelle quC^‘ conque , on reconnaîtra que la formule

(54) L{.r) -+- Uj) ■+■ L(zj ■+. &c... = L{jcyz-)

subsiste seulement dans le cas où, a., a,', a.", &<**•• étant positifs , la somme

arc tang. — -+- arc tang. H- arc tang. ~ &C.-

reste comprise entre les limites — ; c* ,

formule

(55) L(xm) = ^L(x)

dans le cas où , cl étant positif, le produit

U . arc tang. —

l'este compris entre les mêmes limites.

i.',F partie: chap. x. 329