CHAPITRE X

(es Racines réelles gu imaginaires des Équations algébriques dont le premier membre est mie fonction rationnelle et entière d'une seule variable. Résolution de quelques Équations de cette espece par l'algèbre ou la trigonométrie.

^ On peut satisfaire à toute Équation dont le premier membre est une Fonction rationnelle et e vli ère de la variable x par des valeurs' réelles imaginaires de cette variable. Décomposition polynômes en facteurs du premier et dû second egre. Représentation géométrique des facteurs r°els du second degré.

Considérons une équation algébrique dfftit le membre -soit une fonction rationnelle et (| ,erc de la variable x. Si n reparésènte le degré n eette équation , elle pourra se mettre sous la °rmc

«o xn-\-alxn~l -h v*

... x -h an = o ,

%l' ’ a+ *•* a“ ®*ant àescoefficîens constarts ^ . S 0,1 Imaginaires. On appelle racine de cette e équation toute expression réelle ou imaginaire

330 COURS d’analyse.

qui, substituée à la place de l’inconnue x, rend premier membre égal à zéro. Supposons d abord, p°l,r fixer les idées , que les constantes ao , a i , ax . • • se réduisent à des quantités réelles. Alors, si doux va leurs réelles de x substituées dans le premier membrt de l’équation (i) fournissent deux résultats entre quels zéro se trouve compris, c’est- à -dire , dcl1* résultats de signes contraires « on conclura du cb* pitre 2, 4 * théorème] que l’équation tl ’

admet une ou plusieurs racines réelles comp1^1 entre ces valeurs. Il en résulte que tonte de degré impair aura au moins une racine r®? , ,En efîet, si n est un nombre impair, le P1'01111^ membre de l’équation (.i) changera de sigufc aV^ son premier terme aQ xn , toutes les fois qu’en ^ V huant à la variable x des valeurs numériques

considérables on fera passer cette variable du p°* ; au négatif : [voy. le 8.c théorème du chap< Lorsque^? devient un nombre pair, la Xn demeurant positive tant que la variable * réelle , le premier membre de l'équation (i) ^

être, pour de très -grandes valeurs nUmériq*1®* ^ x , constamment de même signe que a0. Bi» ^ même hypothèse, a„et ao sont de signes conti ^ le premier membre changera évidemment de , lorsqu’on passera d’une très -grande valeur 111 ^ |ique de x à une très-petite, en laissant la VîU toujours positive ou toujours négative. L’équatiU1^ aura donc alors deux racines réelles , l une J»06

et l'autre négative.

i.,e partîè. chap. x. 531

Lorsque , n étant un nombre pair , ao et an sont e tWéme signe , il petit Arriver que le premier Membre de 1 équation ( 1 ) reste , pour toutes fes fleurs réelles de x, de. même signe que ao, sans ï^niais s’évanouir. C’est ce qui a lieu , par exemple, P00*' chacune des équations binômes

1 = o , JC*-¥- 1 — o , ^-hi=Ëb , & c....

^a0s un cas semblable, l’équation ( i ) n’aura plus racines réelles ; mais ou y satisfera eu prenant ^Ur a; une expression imaginaire

V désignant deux quantités réelles et finies. Cette ^position , et celles que nous venons d’établir, se

^Uvçnt renfermées dans le théorème suivant.

•4(ifr Théorème. Quel/es que soient les valeurs eeUcs ou les valeurs imaginaires des constantes ér ♦ i i . an, , an , V équation

118 laquelle n désigne un nombre entier • égal ou ré rieur à l'imité, , a toujours des racines réelles lpiaginaires ,

^Monstration . Désignons, pour abréger, le premier membre de l’équation (i) ; t^)sera une fonction réelle ou imaginaire, mais ^u)°Ucs entière , de la variable x; et, puisque toute ^ Ï^Hsion réelle u se trouve comprise comme cas ^ulier dan s une expression imaginaire u-k-vy/— > ,

il suffira, pour établir le théorème énoucé, dç!^e montrer généralement qu’on peut satisfaire à féq118' tion

en prenant

puis attribuant aux nouvelles variables u et v $ valeurs réelles. Ôr, si Ion substitue la valeur cédente de x dans la fonction f(æl , le résultat de la forme [ r

* - lltfî

<|>(w, w), y {ü, v ) désignant deux fonctions

et entières des, variables u et v. Cela posé, tion (1} deviendra

O {u, v) -+- I ys (il, v) :2c : o ;

et, pour y satisfaire, il suffira de vérifier les équations relies

l<p{ü,v)=zO,

lx(u' v) — o,

ou , ce qui revient au même, l équation uniql,e

Donc , si l’on pose pour plus de commodité

il restera seulement à montrer que l’on peut ou

des