I* PARTIE. CHAP. X

P — — 2/*" cos. £, q — rxn f ** " + q — xx* — xrn xn cos. ^ -t- rJ

^ans fa même hypothèse, fa formule (i 5) donnera *=r(oo,.i±/rrsi„.i-) (cos.

;„r r(C0S--~Ô^ r^/-' sin- ~±„2/t) .

représentant un nombre entier; et Ton en contra que le trinôme

jSt ‘lécomposable en facteurs réels du second deeré la forme * '

2 rx cos.

Si

, 0n suPpose au contraire fa quantité p positive, b'inome xln -\-pxn -+-q deviendra

zr"x" ,os.Ç->- r‘* ,

c s°s Acteurs réefs du second degré seront de fu °rme

x--2rxcos. S!iü± + r.

une et Pautre hypothèse , on pourra cons-

tf0 e géométriquement les facteurs réefs du second 5. i * Pàl fa méthode ci-dessus indiquée [voyez ic Ws t0Utes ,es fois tfue ,on attribuera des vareelfes à fa variable x. Si l’on prend la valeur *OM. 1. 7

35 4 C OURS d’an A LYS F,,

ii îmérique de eette variable pour base commune & tous les triangles qui correspondent aux différons facteurs , et que dans chaque triangle on fasse aboutn Constamment à une même extrémité de cette ba^ le coté connu , représenté par r , on trouvera <lllC les sommets des divers triangles coïncident avec ^ points de division d’une circonférence décrite «ü rayon r en parties égales. Il en résulte que , si l °* multiplie entre eux les carres des lignes menées i* la seconde extrémité de la base aux points dont1 sagit, le produit de ces carrés sera la valeur 1 trinôme

xxnr^r- pxn^-q = x *n =t 2 rnxn cos. Ç -h r2"-

Dans le cas particulier où £= o , le produit & lignes elles-mêmes représente la valeur numen<ll du binôme

xn ±\ v" ,

laquelle se confond avec la racine carrée p°sitl' du trinôme

i,#±2 r” xu h- r2".

, Iti

Des deux propositions qu’on vient d’énoncer ^ première est le théorème de Moivre , et la seco> celui de Cotes.

j. $.e Résolution algébrique ou (rigonomélnpieJ Équations du troisième et du quatrième deg?0’

Considérons l'équation générale du

l." PARTIE. C H A P. X. 355

degré. On pourra toujours, eu faisant disparaître le econd terme de cette équation, la ramener à la lonne

(') 'x' + 'px + q =t o ,

P, q désignant deux quantités constantes. D’ailleurs Sl Ion pose

JC — U H- V t

U’ v étant deux nouvelles variables, on en conclura

J ={U + vy = u'-irv' ^uv .X ,

Pour rendre l’équation (2) identique avec la propo-

,te ’ ** su^Ira d'assujettir les inconnues u et v aux aeux conditions

(3) u? H- V* zzz — n .

a resolution de I équation (i) se trouve ainsi ré-

^U(4)à ^ rëS°*Uti°n simu,tanëe des équations (3)

Cherchons d’abord les valeurs de u 3 et de v 3 Si ,0n fait

1 aura, en vertu des équations (3) et (4) ,

- <J , *tzi .

et Par suite, en nommant ^ une nouvelle variable ,

COURS d’analyse.

(z-z,){z-zx)z=z‘-*-qz-^.

H en résulte que z, , zx seront les deux racines de ! équation

(6) z' + qZ-^ = O.

Ces deux racines étant connues , on déduira des formules (5) trois valeurs de u et trois valeurs de ff> qui se correspondront deux à deux de manière * vérifier la formule (4). Soit U l’une quelconque des trois valeurs de u , et V la valeur correspondant de v , en sorte qu’on ait

UV ~ - y.

Désignons en outre par et l’expression imaginaire

î Tr y - . 2 T

cos. - 1- y — ' sin. - :

les trois valeurs de l’expression ((1)) 5 seront respe‘ tivement

ne ✓ — • 1 . 37 1

et = cos. — — I- y — « sin. —y — - ~ i — — y

x 2 T J - , JT I 3 7 ;

et = cos. - y— 1 sin. - = - Y

et les trois valeurs de u, évidemment compr‘sC dans la formulé générale ((]))’ U , deviendront