CHAPITRE XI

Décomposition des Fractions rationnelles.

l*#r Décomposition d’une Fraction rationnelle en deux autres Fractions' de même espece.

Menons pour /'(.r) et F(x) deux Fonctions en- ,èr<-‘s de la variable x.

j,6ra ce qu’on appelle une fraction rationnelle. Si p* désigne* par m le degré .de son dénominateur

fy v o

V*) > l’équation

*di

Mettra m racines réelles ou imaginaires , égales Oh • U °

^égales; et si, en les supposant d’abord toutes

Offries , on les représente par

• x0 , xl , xx y . . . . Xm-x y

v jeteurs linéaires du polynôme F(x) seront res- Vivement

posé , faisons

F{x) — (x — x,) Çi ( x) ,

et

CO 1RS d’analyse.

$(•*'<>) d étant pas nul, la constante A restera ünlC' et la différence

s’évanouira pour x = ’x0 . Par suite il en sera & même du polynôme

f(x)-Aq>(x),

et ce polynôme sera divisible algébriquement P*r x — xa\ en sorte qu’on aura

/(.r) — A <p (x) = (x - .rQ) ÿ(*) »

(4) ,/Xr) = ^4 <J> £r) -h (.r x0) ^(.r) ,

% Çv) désignant une nouvelle fonction entière de ^ variable x. Si l’on divise par F(x) les deux inend’1^ de cette dernière équation , en ayant égard à la ^ mule (2), on en conclura^

F{x) x —xa <p{ x) '

Donc , si l’on partage le polynôme F (je) en facteurs dont l un soit linéaire , on pourra dée^1

poser la fraction rationnelle ~~~ en deux al1*'

qui aient pour dénominateurs respectifs ^

facteurs dont il s’agit, et dont la plus simpîe alt numérateur constant.