l.*r Considérations générales sur les Séries récurrentes

Une série

(1) aot alx f axi r*, . <*nxn> &c.

^donnée suivant les puissances ascendantes et fentoères de la variable x, est appelée récurrente , lorsque dans cette série, considérée à partir d’un terme donné, le coefficient d'une puissance quelconque de ta variable s’exprime en fonction linéaire des coefdciens des puissances inférieures pris en nombre *Ixe ; en sorte qu’il suffise de recourir aux valeurs do ces derniers coefficiens pour en déduire celui que * °n cherche. Ainsi , par exemple , la série

(2) 1, 2.r, 3-r*; . {n+\)xnf &c....

récurrente , attendu que , si l’on fait

aA = n -h 1 ,

0lï aura constamment pour des valeurs de n supértaures à l’unité

39Ô COÜRS fc’ANALYSE.

En généré, k série (i) sera récurrente , si, pouf toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite , les coefficiens

de plusieurs puissances consécutives de àc se trouvent liés entre eux par une équation du premier degré. Soit

(4) kaH M+ïan m^ ... + qan~o

î équation dont il s’agit , k , l, . . . p , q désignant des constantes déterminées. La suite de ces constantes formera ce qu’on appelle X échelle de relation de la série, échelle dont les constantes elles-méme* seront les différons termes.

Dans la série (i), supposée récurrente, la variai x et les coefficiens a0, a, , ax, .... a„ peuvent du des quantités réelles, ou des expressions imag1' naires. Cela posé , représentons par fn le modu c de l’expression an , et par conséquent la valeui u mérique de cette expression, lorsqu elle est réc On conclura immédiatement des principes étab ^ dans les VI.* et IX.e chapitres que la série (t) sC^ tantôt convergente , tantôt divergente , suivant op le module ou la valeur numérique de x sera 10 rieur ou supérieur à la plus petite des limites v ^ lesquelles converge, tandis que n croit indéfinie1

l’expression (/„) " .