I.*E PARTIE. CHAP. XII

S* 2.' Développement, des Fractions rationnelles en Séries récurrentes.

Toutes les fois qu’une fraction rationnelle peut se développer en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de ia variable, cette série est en meme temps récurrente, ainsi qu’on va le faire voir.

Considérons d’abord la fraction rationnelle

dans laquelle a, A désignent deux constantes réelles ou imaginaires, et m un nombre entier. Elle pourra *e mettre sous la forme

,ct sera développable , aussi bien que l’expression

tti série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable £ } si la valeur numérique du rapport — supposé réel , ou le module du même rapport supposé imaginaire, est une quantité comprise entre les limites o et i . Cette condition sera remplie, si le module de la viable .r, module qui se réduit à la valeur numérique de la même variable quand celle-ci devient Imaginaire , est inférieur au module de la constante

a ; et Ton aura, dans cette hypothèse

suite

Ax m(n i-4-t) Ax‘

et , si l’on fait

abréger

on obtiendra l'équation

(5) •fijëÿr ^ a<>-+- d,x -f* atx* ... -*-a„.r*-+-&c...

Concevons maintenant que l’on multiplie les deii* membres de l'équation précédente par ; ()l1

en tirera