J.*' PARTIE. CH AP. XII

A i= I , Cl — I , on obtient la suivante ( i ^ 1 y. = i 2 x -+- 3 .r* -h £x3 ■+■ &c* • •

qui a pour second membre, la somme de la série (2) [S- I"], et suppose le module de x inférieur à

l’unité.

Considérons maintenant une fraction rationnelle Quelconque

fax), F(x) étant deux fonctions entières de la variable x, Re])réscntons par a,b,c, ... les diverses Peines de l’équation

par ni le nombre des racines égales à a, par vi le Nombre des racines égales à b , par m le nombre des racines égales à c, &c.. • •> ct Par & coefficient de la plus haute puissance de x dans le polysome F(x ) ; en sorte qu’on ait

U méthode exposée dans le chapitre précédent fournira, pour la décomposition' de la fraction rationnelle ^7^ en fractions simples, une équation de la

forme

cours d’analyse.

A, Ati ... B, ... C, Ciy... &c... désignant des constantes déterminées , et R une fonction en' tière de x qui s’évanouira lorsque le degré du poty' nome f[x) sera inférieur à celui du polynôme F{#)- Cela posé , concevons que le module de la variable x soit inférieur aux modules des diverses racines 0/ b , c , . . . . , et par conséquent au plus petit de ce$ modules. On pourra développer chacune des fraC' tions simples que renferme le second membre & l’équation (17) en une série convergente ordonii^ suivant les puissances ascendantes de la variable puis, en ajoutant les développemens ainsi formés au polynôme R , 011 obtiendra une nouvelle sérig cou,' vergente toujours ordonnée suivant les puissant5 ascendantes de x , et dont la somme sera équiv*'

lente à la fraction rationnelle . Soit

(18) ci0 y a t x, ax x1 , ... anæu , &c, • •• • la nouvelle sérîe dont il. est ici question. La formula

(rp) "rfx) — a* ai x &c- • • •

subsistera toutes les fois que cette nouvelle séi‘c