I.RB PARTIE. CHAP. XJI

et par suite, pour une semblable valeur de n , le coefficient a„ de la puissance xH s’exprimera eu fonction linéaire de ceux des puissances inférieures prises consécutivement au nombre de m. La série (*#) sera donc l’une de celles que l’on nomme récurrentes. Son échelle de relation se composera des constantes

Respectivement .égales aux coefficiens des diverses puissances de x dans le polynôme F(x).

Parmi les séries qui représentent les développements des fractions renfermées dans le second membre de la formule (17), et qui sont toutes convergentes dans le cas où le module de la variable x reste in- %jqur aux modules des diverses racines de 1 équation (1 l’une au moins deviendrait divergente, si ^ module de la variable venait à surpasser celui de Quelque racine. Par suite la série (18), toujours Convergente dans le premier cas, sera divergente dans le second. D’autre part, si ion fait croîtie indéfiniment le nombre entier w , et si l’on désigne Pur fm te module du coefficient an dans la série (18), Cette série sera convergente ou divergente [voyez ] suivant que le module de x sera inférieur

011 supérieur à la plus petite des limites (le domine les deux règles de convergence que nous v°nons d’énoncer doivent nécessairement s’accorder entre elles, 011 peut conclure que le plus petit des Adules qui correspondent aux racines de l équa-

400 COURS d’analyse.

tion (i y) est précisément égal à la plus petite des

limites de V expression (/,;) * •

Lorsque les deux fonctions f(x) , F{-r) son^ réelles*, le coefficient an l’est aussi , et son module j>n ne diffère pas de sa valeur numérique. Si dans I* même hypothèse l’équation F(x) = o n’a que des racines réelles , la racine qui aura la plus petite valeur numérique sera, d’après ce qu’on vient àfi dire , égale ( au signe prés) à la plus petite des

limites de ( fn ) " . Enfin si le rapport -y- converge vers une limite fixe , on pourra la substituer [chap. II, §. 3 , 2.e théorème] à la limite cherchée

de l’expression (/) " . Cette remarque conduit à la règle qu’a donnée Daniel Bernoulli pour déterminer numériquement la plus petite (abstraction faite du signe) de toutes les quantités qui représentent le5 racines supposées réelles d’une équation algcbrique*

5/ 3.e Sommation des Séries récurrentes , et

de leurs Ternies généraux. H

Lorsqu’une série ordonnée suivant les puissance* ascendante^ de la variable x est à -la -fois convergente et récurrente, elle a tou jours pour soniUlC une fraction rationnelle. En effet, soit

(r) a,t a\xf axx* , ... âHx* ,