I.*8 PARTIE. CHAP. II

'port à x entre les limites données , si , entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.

On dit encore que la fonction f(x) est, dans k voisinage d’une valeur particulière attribuée à ia variable x , fonction continue de cette variable, foutes les fois quelle est continue entre deux limites de x , même très-rapprochées , qui renferment la valeur dont il s’agit.

Enfin, lorsqu’une fonction f(x) cesse d’être continue dans le voisinage d’une valeur particulière de ta variable x, on dit qu’elle devient alors discontinue , et qu’il y a pour cette valeur particulière solution de continuité.

D’après ces explications , il sera facile de reconnaître entre quelles limites une fonction donnée de la variable x est continue par rapport à cette variable. Ainsi, par exemple, la fonction sin. x, admettant pour chaque valeur particulière de la variable x une valeur unique et finie , sera continue entre deux limites quelconques de cette variable, attendu que la valeur numérique de sin. et), et par suite celle de la différence

sin.(o: h- et) — sin..r = 2 sin. (-jet) cos. (x -4-^ et),

décroissent indéfiniment avec celle de et, quelle que ^oit d ailleurs la valeur finie que Fon attribue à x.

n général , si Fon envisage sous le rapport de la continuité les onze fonctions simples que nous avons

considérées ci-dessus (chap. I", J. 2), savoir>

a+x, a-x, ax, ±t x‘ , A”, Lx,

Sin. X, cos. x, are sin. .r, arc c05. x,

..n trouvera que chacune de ces fonctions reste continue entre deux limites finies de la variable .r, toutes les fois qu’étant constamment réelle entre ces deux limites elle ne devient pas infinie, dans 1 intervalle.

Par suite, chacune de ces fonctions sera continue dans le voisinage d’une valeur finie attribuée à la variable x, si cette valeur finie se trouve comprise

pour lei fonctions a -+- x \ a — x a x A*

sin. X |

es.* J - -- wpaH) ‘s. le -

pour fa fonction ' 7e ’ fto. / 1 3li>: •

■ « | 1 *° entre les limites . . .x——oo , x=o ,

\ 2.° entre les limites . . . x = o , x z=oo ;

pour les fonctions

L(x) j entre les limites... x = o, x-oo;

enfin pour les fonctions arc sin. x)

arc o». x I entre ,es limites... o:=, .

entre les limites. ,.x=—ao , x=-t-co

i ' ( ujiJonol yl: •