I.“ PARTIE. CHAP. H

H est bon d’observer que , dans le cas où Ion suppose a = ± m (m désignant un nombre entier), fo fonction simple

est toujours continue dans le voisinage d’une valeur finie de la variable x , pourvu que cette valeur soit comprise ,

SI entre les limites. . ,x= — oo, x=-*-oo ,

(entre les limites. . .x = — oo , x— o ,

ou bien

entre les suivantes . . . x — o , x — oo .

Parmi les onze fonctions que l’on vient de citer, deux seulement deviennent discontinues pour une valeur de x comprise dans l’intervalle des limites entre lesquelles ces mème^ fonctions restent réelles. Les deux fonctions dont il s’agit sont

~ et x * (lorsque a — — m).

L’une et l’autre deviennent infinies , et par conséquent discontinues, pour x= o.

Soit maintenant

une fonction de plusieurs variables x, y, z ... ; ct supposons que, dans le voisinage de valeurs particulières X, Y, Z .... attribuées à ces variables, •) soit à-Ia-fois fonction continue de x, fonction continue de y, fonction continue de z, &c.

^ COtRS d’analyse.

On prouvera aisément que, si l’on désigne para,,

2 y.' ** T'anti‘“ infiniment petites, et si l’on

attribue a x, y, z ... [es valeurs X, Y, Z . ou

des valeurs tres-voisines , la différence

/(*+*, z^y)nXiy>z ^ sera «Jie-nmme infiniment petite. En effet, il est

111 ,f|Ue’ <ans i hypothèse précédente , les valeurs numériques des différences

Ax+cc, JH-É, ^ yH Ç, z ...}i

décroîtront indéfiniment avec celles des quantités variables et, Ç v c„ • , , 1 , .

ti .. ’/•••» savoir, la valeur numérique

tlo Plen IC1TC (^®rence avec la valeur numérique , ce e i e a seconde différence avec la valeur meriqufe e £, celle de la troisième avec la vacui numérique de y , et ainsi de suites On doit en

savoir JIC ^ ^ S0Blme toutes ces. différences,

/(^<t .y-C.s+v, y, Tl)

convergera vers la limite zéro , si * , Ç , v vergent vers cette même limite. En d’autres termes,

aura pour limite

La proposition qu’on vient de démontrer subsiste

i.“ Partie, chap. H. 39

évidemment dans le cas même où l’on établirait entre les nouvelles variables et, £, y . cer¬

taines relations. Il suffit que ces relations permettent aux nouvelles variables de converger toutes en même temps vers la limite zéro.

Lorsque , dans la même proposition , on remplace x, y, z ... par X, Ÿ, Z..., et y-+-£, z-i-y. ..

par x, y, z ..., on obtient ienoncé suivant.

l.er Théorème. Si les variables x , y , z ... ont pour limites respectives les quantités fixes et dé terminées x, Y, z..., et que la fonction f{x, y, z ...) soit continue par rapport a chacune des variables x, yf z .... dans le voisinage du système des valeurs particulières

f{x, y, z .... ) aura pour limite f(x. Y, Z ... ).

Comme, dans ce second énoncé, les variables et , C, y ... se trouvent remplacées par x^-X , y — Y \

z — Z, &c r les relations qu’on pouvait établir,

dans le premier énoncé, entre et, é, y ...» pourront être établies , dans le second , entre les quantités x^X,y-Y, z+Z; et il en résulte que la fonction f{x, y, s...) aura pour limite f{Xf Y, Z ...), dans le cas même où les variables x , y, z .... seraient assujetties à certaines relations-, pourvu <jue ces relations leur permettent de s’approcher indéfiniment des limites X, Yt Z

Supposons , pour fixer les idées, que x, y, z ...

40 COURS d’analyse.

soient fonctions d une même variable t .considérée comme indépendante, et continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière

Si Ion fait, pour plus de commodité,

fi* > y> *...)=«/

u sera ce qu on appelle une fonction composée de la variable t ; et, si

désignent respectivement ce que deviennent

dans le cas où l’on suppose t=T, il est clair, d’une part , qu’une valeur de f trêvvo,isjfl^e ' T fournira pour u une valeur uniquij (rt finie • foxifre pU , q41-j| sufDra de faire converger* vers la limite T nn'nr

limites A, 1 , Z . , et par suite la fonction

U—J \X’V’ z- ■ •) vers la limite U=/C X, Y, Z.

On pi ou\ erait absolument de 4a mèmè manière que si Ion attribue à t une valeur tr^voisine de T la valeur correspondante de la foncKon ■« sem la limite e ^quelle cette fonction s approchera indéfiniment, tondis que t convergera vers la valeur donnée; et Ion doit conclure que u sera fonction continue de t dans le voisinage de t=T. On peut donc énoncer le theoreme suivant.