K OTE

le signe devant U. première lettre. Considérons , fsf

exemple, ^

• * 4 ' x • T5 •kd&s'&'&àkuGitsil mif ^ 3idfnO‘t

Leur somme pourra être représentée par l’expression

’xuvïo • rt-'-i ! -, •• V

Dans une semblable expression , chacune des quantités

est ce qu’on appelle un monome. L’expression elle-mêrn* est un polynôme dont les monomes en question sont le* différens termes. : ft. •wpvoJ

Lorsqu’un polynôme renferme seulement deux, ■ tfd# > quatre . ... termes, il prend le nom de binôme , trin#ti&>

quadrinome , . * < v ‘A

On prouve aisément que deux polynômes dont MUS ftk termes sont égaux et de signes contraires, représenté deux quantités opposées. : H j t f l

La différence entre une première quantité et un* seconde, c’est une troisième quantité qui, ajoutée a & seconde, reproduit la première. En partant de cfette défi' nition, on démontre que , pour soustraire d’une premu’re quantité a une seconde quantité b, il suffit d’ajout à la première la quantité opposée à b , c’est } b. On en conclut que la différence des deux quantité* a et b doit être représentée par <

Nota. La soustraction étant l’inverse de l’addition toujours s’indiquer de deux manières. Ainsi , par exempt potA exprimer que la quantité c est la différence dei quantités a et b , on peut écrire indifféremment

« — 6=rc ou a = kis+nfi*

KOTÉ 1,'*; 409

M ül TlPUCA T WN ET DIVISION.

Produits et quotiens des nosTérès. 3 fiïltiplicr le Nombre A par le nombre B , 6*est opérer sur le nombre -4 précisément comme on opère sur l’unité pour obtenir

Le résultat de cette opération est ce çju’on appelle le produit de A par B. Pour bien comprendre la définition' précédente de la multiplication , ÏI faut distinguer différens cas suivant l’espèce du nombre B. Or ce nombre ItèjUt être tantôt rationnel, c’est-à-dire» entier ou fraction- ^jre, tantôt irrationnel, c’est-à-dire, non rationnel.

Lorsque B est un nombre entier , il suffit , pour obtenir B , d’ajouter l’unité plusieurs fois de suite à elle- R$me. II faudra donc alors , pour former le produit de A Par B , ajouter le nombre A à lui-mcme un pareil nombre dp fois, c’est-à-dire, faire la somme d’autant de nombres à A qu’il y a d’unités dans B.

Lorsque B est une fraction qui a poür numérateur m, Stpouf dénominateur n , l’opération , par laquelle on parvient au nombre B , consiste à parlager l’unité en n parties égales , et à répéter m fois le résultat trouvé. On obtiendra donc alors le produit de A par B, en partageant le Nombre A en n parties égales , et répétant îune de ces Parties m fois.

« Lorsque B est, un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus approchées. On fait voir aisément que dans la même hypothèse le produit de A par les nombres mtionnels dont *1 s’agit s’approche de plus en plus d’une certaine limite. Cette limite sera le produit de A par B. Si l’on suppose, Par exemple , B =r= o , on trouvera une limite nulle , et ^ °n en conclura que le produit d’un nombre quelconque P&r zéro s’évanouit.

Dans la multiplication de A par^i Le nombre A s'ap' prüe multiplicande , et le nombre B mullipUcatçuf' Ces deux nombres sont aussi désignés conjointement sou* le nom de facteurs du produit.

Pour indiquer le produit Je A par B , on emploi IndifïerèmmenPd'une des frbis notations suivantes :

Soi*

Le produit de- plusieurs nombres reste le même d<&* quelque ordre qu’on les multiplie. Cette proposition t lorsqu il sag»t dedeux ou trois facteurs entiers seulement se déduit de l'axiome relatif -à I Edition des nombre On peut ensuite la démontrer successivement , i ,° poof deux ou trois facteurs rationnels; 2.0 pour deux ou trois facteurs irrationnels ; 3.0 enfin pour un nombre quçl' conque de facteurs rationnels ou irrationnels.

Diviser le nombre A par le nombre B , c'est cherche1" un troisième nombre dont le produit par B soit égal à A * L opération par laquelle on y parvient s’appuie divièiotit et le résultat de cette opération quotient. De plus y ^ nombre A prend le nom de dividende , et le nombre fî celui de diviseur.

Pour indiquer le quotient de A par B , on emploi * volonté lune des deux notations suivantes

-jt. A: B.

Quelquefois on désigne le quotient A : B sous le r\orfl de rapport Ou raison géométrique des deux nombres A et B.

L égalité de deux rapports géométriques A : B, C ou, en d’autres termes , l’équation ,im ‘rjj f

•st ce quon appelle une proportion géométrique. Ordinairement au lieu du signe = on emploie le suivant : : qui a la même valeur , et l’on écrit

Nota. Lorsque B est un nombre entier , diviser A par B, c’est, d’après la définition, chercher un nombre qui répété B fois reproduise A. C’est donc partager le nombre A en autant de parties égales qu’il y a d’unités dans B. On conclut facilement de cette remarque que , si m et n désignent deux nombres entiers, la n.mt partie de 1 unité devra être représentée par

et la fraction, qui a pour numérateur m, et pour dénominateur n, par

Telle est, en effet, la notation par laquelle on doit naturellement designer la fraction dont il s’agit. Mais, comme ©n prouve aisément que le produit in x — est équivalent •U quotient de m par n , c est-à-dire , a — , il en résulte que la même fraction peut être représentée plus simplement par la notation

Produits et qugtiens des quantités. Le produit d’une première quantité par une seconde , est une troisième quantité qui a pour valeur numérique le produit drs yaleurs numériques des deux autres , et pour signe le produit de leurs signes. Multiplier deux quantités fune par Vautre, c’est former leur produit. L’une des deux quantités

412 Kqte I.m;

s appelle multiplicateur l'autre multiplicande et toutes ies deux conjointement facteurs du produit.

Ces définitions étant admises, on établira facilement la proposition stlhtôïffè.' ' - ' fn°19 ' 80°™

,A‘ Théorème. Le produit de plusieurs quantité# reste le meme { dans quelque ordre qu on les mi^lùpliSf

Pour démontrer cette proposition, il suffif ^e com* biner la proposition semblable relative aux nombres avec le 3.* théorème relatif aux signes [ voyez ci-dessus, page

thviser une première quantité par une seconde, cest chercher une troisième quantité qui multipliée par la se% conde reproduise la première. L’opération par laquelle oq V parvient s’appelle division ; la première quantité dividende, la seconde diviseur, et le résultat de l’operation quotient. Quelquefois on désigne le quotient sous le nom fie rapport ou raison géométrique des deux quantités données. En partant des définitions précédentes , on prouve facilement que le quotient de deux quantités ti pour valeur numérique le quotient de leurs valeurs numériques , et pour signe le produit de leurs signes.

l^a multiplication et la division des quantités s'indi" quent tout comme la multiplication et la division des nombres.

Nous dirons que deux quantités sont inverses fune de 1 autre , lorsque le produit de ces deux quantités sera 1 unité. D’après cette définition , la quantité a aura pour inverse — , et réciproquement.

• On a remarqué plus haut que ce qu’on appuie fraction en arithmétique est égal au rapport ou quotient de deux nombres entiers. En algèbre, on désigne aussi sous le nom J* fraction le rapport ou quotient de deux quantités quel-

conques. Si donc a et b représentent deux quantités , leur rapport — sera une fraction algébrique.

Nous oBserverons encore que la division, étant une opération inverse de la multiplication, peut toujours s’indiquer de deux manières. Ainsi, par exemple, pour exprimer que la quantité c est le quotient de deux quantités a et b , on peut écrire indifféremment

- -- — c , ou a = b c.

' Les produits et quotiens .de nombres et de quantités fouissent de propriétés générales auxquelles on a souvent recours. Nous avons déjà parlé de celle qu’a tout produit de rester le mèm^ dans quelque ordre que l’on multiplie ses facteurs. D’autres propriétés non moins remarquables se trouvent comprises dans les formules que je vais écrire.

Soient

plusieürs suites de quantités positives ou négatives! Qn aura , pour toutes les valeurs possibles de ces mêmes quantités ,

h (a -h b -h c -t- . . = ka -h }.b -+- kc . . . , a a a o a' a .

T * If * -T * ‘ • •••• *

Les quatre formules qui précèdent donnent lieu à une foule de conséquences qu il serait trop long cl énumérer u $ i\ détail. On conclura , par exemple, de la troisième fprtoule i .* que les fractions