ÉLEVA T ION AUX PUISSANCES : EXTRACTION DES RACINES

Puissances et racines des nombres : exposa^ positifs. • Elever le nombre A à la puissance marquée par le nombre B , c’est chercher un troisième nombr^ qui soit formé de A par la multiplication , comme B est formé de l’unité par l’addition. Le résultat de cette opération faite sur le nombre A est çe qu’on appelle sa puissance du degré B. Pour bien concevoir la définition précédente de l’élévation aux puissances , il faut distinguer trois cas, suivant que le nombre B est entier, fractionnaire ou irrationnel.

Lorsque B désigne un nombre entier , ce nombre est la somme de plusieurs unités. La puissance de A, du degré B, doit donç alors être le produit d’autant de facteurs égaux à A , qu’il y a d’unités dans B.

Lorsque B représente une fraction -fmet n étant deux nombres entiers ) , il faut , pour obtenir cette fr*c' tion, T.# chercher un nombre qui répété n fois reproduise l’unité; 2.* répéter m fois le nombre dont il sagd* 11 faudra donc alors, pour obtenir la puissance de A, degré ~ , 1 .* chercher un nombre tel que la jnültipb'

^tion de n facteurs égaux àr ce nombre reproduise A, *•“ former un produit de m facteurs égaux à ce même Nombre. Quand on suppose en particulier m= i , la Puissance Je A que l’on considère se réduit à celle du dçgçp -U, .et. se trouve déterminée par la seule condique le nombre A soit équivalent au produit de n Acteurs égaux à cette même puissance.

Lorsque B est un nombre irrationnel, on peut en obtenir en nombres rationnels des valeurs de plus en plus approchées. On prouve facilement que dans la même hypothèse les puissances de A marquées par les nombres r&üonneIs dont il s’agit s’approchent de plus en plus d’une ^rtaine limite. Cette limite est la puissance de A , du Jegré B.

Dans l’élévation du nombre A à la puissance du degré top le nombre A s’appelle racine , et le nombre B , qui Marque le degré de la puissance , exposant. Pour repré- SGnter la puissance de A du dègré B , -on se sert de la dotation suivante

, D’après les définitions qui précèdent, la première puis- ^pce, d’un nombre n’est autre chose que ce nombre lui- . tetèiUq. Sa seconde puissance est le produit de deux facteurs égaux à ce nombre , sa troisième de trois semblables jeteurs, et ainsi de suite. Des considérations géométriques ürit conduit à désigner la seconde puissance sous le nom carré , et la troisième sous le nom de cube. Quant à ^ puissance du degré zéro, elle sera la limite vers laquelle c°nverge la puissance du degré B , tandis que le ijombre B ^eCrolt indéfiniment. If est aisé de faire voir que cette limite Se réduit à l’unité ; d’où il résulte qu’on a en général

NOTB I.*6 A=i.

Nous supposons toutefois que la valeur du nombre A reste finie et diffère de zéro.

Extraire du nombre A la racine marquée par 1* nombre B, c’est chercher un troisième nombre qui, élevé à la puissance du degré B, reproduise A. L’opération, paf laquelle on y parvient, s’appelle extraction , et le résulta1 de l’opération est la racine de A , du degré B. Le nombre B, qui marque le degré de la racine, se nomme indicé’ Pour la représenter, on se sert de la notation suivante

‘Va.

Les racines du second et du troisième degré sont ordinairement désignées sous le nom de racines carrées et cubl' ques. Lorsqu’il s’agit d’une racine carrée , on se dispensé presque toujours d’écrire au-dessus du signe / l'indice * de cette racine. Ainsi les deux notations

doivent être considérées comme équivalentes.

Nota. L’extraction des racines des nombres , étant fi°' verse de leur élévation aux puissances, peut toujours ctra indiquée de deux manières. Ainsi, par exemple, pour «*' primer que le nombre C est égal à la racine de A , degré B, on peut écrire à volonté

A = CB OU C = By/ A- Remarquons encore qu’en vertu des définitions , si l°n

désigne par n un nombre entier quelconque , A sera nombre tel que la multiplication de n facteurs égaux * ce nombre reproduise A. En d’autres ternies, on aura

duù l’on conclura

VCKJ’E r.

A = yÂ. '

Aimi. lorsque « est un nombre entier, la puissance de

4’ <lu <le«l<: T - et la »•** * A sont des exprès-

&iûns équivalentes. On prouve facilement qu’il en est de dans le cas où l’on remplace le nombre entier n P**r un nombre quelconque.

Puissances des nombres : exposans négatifs. Éteve* le nombre A à Ta puissance marquée par Xexpo- *ant négatif —Æ, c’est diviser l’unité par AB . La valeur dp l'expression

^ trouve donc déterminée par 1 équation A~* -•

Su on peut aussi mettre sous la forme

Pu •

Hr milite , si l’on élève un même nombre à deux puis- ^Uces marquées par deux quantités opposées , on ob- |,eud,a pour résultat* deux quantités positives inverses uUe de l’autre.

s< Puissances et RAcnfEs réelles des quantités.

. dans les définitions que nous avons données des puisj*nces et racines des nombres correspondantes à des ex- ^sans, ou entiers, ou fractionnaires, oji substitue le mot nj H^ntités à celui de nombres , on obtiendra les défi- ^ons suivantes pour les puissances et racines réelles des Entités.

Elever la quantité a a la puissance réelle du degré TOM. 1. Dd

m [ ni étant un nonlbre entier ] , c’est former le produit d’autant dé feétcius égaux à a qu’il y a dunités dans m.* Élever la quantité a à la puissance réelle du degré -7 [m et n étant deux nombres entiers], ce& (éti supposant, pour éviter toute incertitude, la fraction — réduis h. sa plus simple expression) former un produit de »>» facteurs égaux et tellement choisis que la, n.mt puissaiu* de chacun d’eux soit équivalehte à la quantité a.

Extraire de la quantité a la racine reeUe du degrq ou — , c’est chercher une nouvelle quantité qui , ele'tr à la puissance réelle du degré m ou -f , reproduise fl- [D’après cette définition, la n.m' racine réelfe d’un^ quantité est évidemment la mçme chose que sa püissa»^ réelle du degré . De plus , on prouvera facilement qü‘ la racine du degré équivaut à la puissance du degré Enfin , élever la quantité a à la puissance réelle W degré — m ou — -f , cirât diviser l’unité par cette yv.cWc quantité a élevée à la puissance réélle du degré m ou^* Dans les opérations dont on -vient de parler , le nowl>£ «U la quantité qui marque Je degré d’une puissance rée ^ de a s'appelle X exposant de cette puissance , tandis <î“ le nombre qui marque le dej-ré d’une racine réelle > nomme l'indice de cette racine. ^

Toute puissance dè a, qui correspond h un eXP°s^p dont la valeur numérique esf entière , c est*à*dire , ^

exposant de la forme -+- m ou — m [ m représentant > nombre entier ] , admet une valeur unique et reelle q l’on désigne par fa notation

Quant aux racines , et Mn»nt aux puissances dont la valeur numérique est IVactioniiaiie y elles peuvent admettre ou deux valeurs réelles, oü une seule valeur réelle, «u n’en admettre, aucune. Les valeurs i'éelles dont il est u i question sont nécessairement des quantités positives ou des quantités négatives. Mais, outre cès quantités, on emploie encore en algèbre des symboles qui, n’ayant aucune signification par eux-mcmes , reçoivent néanmoins ü cause de leurs propriétés , les noms de puissances et de racines. Cès syrfiboles sont du nombre des expressions algébriques auxquelles on a donné le nom d'imaginaires, par opposition il celui d ‘expressions réelles, qui ne s’applique jamais qu’à des nombres ou à des quantités.

Cela posé, il resuite des principes établis dans le chapitre VU que la rachat; n.mt d’une quantité quelconque et ses puissances des degrés ~ , — [» étant un nombre entier, et ~ une faction irréductible ] admettent chacune n valeurs distinctes réelles ou imaginaires. Çonformémeiit aux notations adoptées dans le même chapitre, on désignera l’une quelconque de ces valeurs, s’il s»git de la rac ine</i.m', par la notation

*l> s il s’agit de la puissance qui a pour exposant — ou ; par la notation

^jootons I mpression ((■#)) ’ est coittpme Cotilite

C*S particulier dans l’expression plus générale et

«n appelant A la valeur mrinérrque de a on trouvera

Dd *

pour les valeurs jcelies des deux expressions

•il ✓O 3'KJ ! BV ' ,

i , si 7? désigne un nombre impair ,

a étant = -H A . -4- A " , -¥■ A •

a etfnt = — A .... . — ^ ^ »

2* y si n désigne un nombre pair ,

a étant = -+- A . zt A n , zt A . ih<<

Lorsque, dans le dernier cas, on suppose a négatif, toute*

les valeurs de chacune des expressions^ a )) " > ((«]), deviennent imaginaires.

Si ion fait varier la fraction de manière quelle s’ap' proche indéfiniment d’un nombre irrationnel B , le dénominateur n croissant alors au - delà de toute limite assignable , il en sera de même du nombre des valeurs imaginaires qu’obtiendra chacune des expressions

Par suite on ne peut admettre dans le calcul les notation*

ou , si l’on fait b = db B , la notation

à moins de considérer une semblable notation con m propre à représenter une infinité d’expressions imagina*1^' Pour éviter cet inconvénient , nous n'emploierons janaai* l’expression algébrique

dans le cas où la valeur numérique de b sera irrationnelle. Seulement, dans cette hypothèse, lorsque a obtiendra Une valeur positive -\-A , on pourra faire usage de la notation

ah ou (a)* ,

^ue i’on devra considérer comme équivalente à

4 Ah

[ voyez le chapitre VII, 5- 4]*

Les puissances de nombres et de quantités jouissent de .plusieurs propriétés remarquables qu’il est facile de démontrer. Nous citerons entre autres celles qui se trouvent Comprises dans les formules que je vais écrire.

Sofent a, a, a " , ... b , b', b" , ... des quantités quelconques positives ou négatives, A} A', A", ..... des

nombres quelconques , et m, m", . des nombres

entiers. On aura

Ab Ab' Ah" . =A t’ + r + y . \

Ab A'b A"b . = (A A' A" ....y,

(Ab)b‘ == A b' b :

a±m.a±m‘ .a±m" . = a±m±m' *m" • • ” (chacun des

nombres m, m', m", ... devant être affecté du même signe dans les deux membres ) ,

fl"1 . a>m . a»m . = (a a> a» - )m,

( am)m'

^es formules (3) «t (4) donnent lieu à une foule de com ^uences, parmi lesquelles nous nous contenterons d’m- ^uer la suivante. On tire de la second© des formules (3)

423 NOTE ï.nf

et 1W *;» conclut

Donc, si l’on élêyç deux quantités positives inverses l’une de l’autre à une même puissance, les résultats seront encore deux quantités inverses.