r Théorème. Les mêmes choses étant posées qjie

tlansHe théorème précédent , l’ extrémité de la long représentée par J

sera sur la ligne donnée un point situe a distance* égales des extrémités des longueurs a et b \ les d& lances étant comptées sur la ligne elle-même j.

Appliquons uyùntenantces théorèmes aux arcs mesurés s,,r la circonférence d’un cercle dont le plan est vertical , dont le rayon équivaut à l’unité , l’origine des arcs ptont fivfe h F extrémité du rayon tire horizontalement de Quelle à droite. Si l’on désigne par 77, suivant l’usage, le Apport de la circonférence au diamètre , le diamètre étant à 2 , la circonférence entière se trouvera exprimée P^r le nombre 277, la moitié de ia circonférence par le ^nibrc 77, et- le quart par Si, de plus, *on désigne l^v a un are quelconque positif ou négatif, on conclura ^ 6/ théorème que , pour obtenir l’extrémité de l’arc

fl 2 m 77 OU fl - 2.11X71

l tfy étant un nombre entier], il faut porter sur la circon- „ à partir .tfr .l’extrémitç. de. l’arc a, soit cj^ns le ,SoUs des arcs positifs , soit dans le sens des arcs néga* {'\ une longueur égale à iiutt y c’est-à-dire, parcourir m Hs la circonférence, entière dans un sens ou dans l’autre ; (°\qui ramènera nécessairement au point d’où Ton était P^rti. 11 en, résulte que les extrémités des arcs

a et a dr. *ihrr

^hçident.

On conclura également du 6/ ou du 7.* théorème, 1 * que Te?l extrémités des arcs a et a rfc tt

éprennent entre elles un arc égal Ktt , et se confondent ^ conséquent avec les extrémités d un même diamètre ; * que les extrémités des arcs

a «t a ztz - -

‘^prennent entre elle* un quart de circonférence , ew

sorte qu elles coïncident avec les extrémités de deux ray0,lî

perpendiculaires l’un à l’autre.

Enfin on conclura du 8.c théorème, i que les extr*' mités des arcs

a et 7r. - — a

sont situées à égales distances de l’extrémité de l’arc

et par conséquent placées symétriquement de part et d’autre du diamètre vertical; 2° que les extrémités ^ ei arcs

a et — — a

sont sÿuées h égales distances de l’extrémité de l’^rc Les arcs ir — a et -p — a, dont il est ici question, son* respectivement appelés le supplément et le complém de 1 arc a. En d’autres termes , deux arcs représentés pa‘ deux quantités a et b sont supplémens ou complété11* l’un de l’autre suivant que l’on a •

Puisque les angles au centre qui ont pour côté co#1' mun le rayon mené par l’origine des arcs croissent °u diminuent proportionnellement aux arcs qui leur sert^1 de mesure , et que ces angles eux - mêmes peuvent êire

considérés comme les accroissemens ou diminutions l’un d’eux pris à volonté , rien ne s’oppose à ce qu

soient désignés par les mêmes quantités que les arcs. une convention que l’on a effectivement adoptée. Or» aussi que deux angles sont complémens ou supplémefl*

NOTE l.*1 459

*un de l'autre, lorsque les arcs correspondans sont dixièmes complémens ou supplément îun de l’autre.

Passons maintenant à l’examen des lignes trigonomélr^iues ; et dans ce dessein , considérons un seul arc représenté par la quantité a. Si oit le projette successivement, i.° sur le diamètre vertical , .£«" sur le diamètre horizontal, les deux projections seront ce qu’on appelle *e sinus et le sinus verse de l’arc a. On peut observer (lue la première est en même temps la projection , sur le fj'afnètre vertical, du rayon qui passe par l'extrémité do *arc. on prolonge ce même rayon jusqu a la rencontre

la tangente au cercle mené par l’origine des arcs , la Partie de cette4 tangente interceptée entre l’origine et le Point de rencontre sera ce qu’on appelle la tangente'Vvi- ^orné trique de l’arc a. Enfin la longueur comptée sur ^ rayon prolongé entre le centre et le point de rencontre Set* La sécante de ce même arc.

Jj.es cosinus et cosinus verse d’un arc , sa cotangente et sa cosécante ne sont autre chose que 1^| sinus et SlllUs verse, la tangente et la sécante de son complément, et Constituent , avec le sinus , le sinus verse , la tangente , n ki sécante de ce même arc , le système complet de ses tytes t ri go nom ét riquel.

I) après ce qui a pté dit ci-dessus , le sinus d’un arc se c°inptc sur le diamètre vertical , le anus verse sur le diamètre horizontal, la tangente sur la ligne^ qui touche le Cercle à l'origine des arcs , et la sécante sur le diamètre m°hile qui passe par l’extrémité de l’arc donné. De plus , es sinus et sécantes ont pour origine commune le centre ,^u corde, tandis que l’origine des tangentes et des sinus Verses se confond avec celle des arcs. Enfin, on estgénémîcîïîeut convenu de représenter par des quantités posi-

Ht

tives les lignes trigqpométriques de lare et , dans le cas 0,1 cet arc est positif et moindre qu’un quart de circonférence d’où il suit que l’on doit compter |>ositivement le sinu* et la tangente de bas en haut, le sinus verse «Je droite*1 gauche , et la sécante dans le sens du rayon mené aie*' trémité de l’arc a.

En |wtant des principes que nous venons d’adopter* on reconnaîtra immédiatement que le sinus verse, et p*r suite le cosinus verse sont toujours positifs; et, de p!uS' on déterminera sans pgine les signes qui doivent affect^ les autres lignes trigonom étriqués d’un ad| dont l’extrC' mité est donnée. Pour rendre cette détermination facile, on conçoit le cercle divisé en quatre parties ég<dc* par deux diamètres perpendiculaires entre; eux , l’un h°ir montai, l’autre* vertical ; et ces quatre parties sont respe^ tivement désignées sous les noms de premier, second' troisième et quatrième quart de cercle. Les deux prr miers quarts de cercle sont situés au-dessus du diainèt^ horizon t^j , savoir , le premier h droite , et le second :l gauche. Les deux derniers sont situés au-dessous du jné^e diamètre, savoir, le troisième à gauche, et le quatrième * droite. Cela posé , comme les extrémités de deux arc5 * complémens l’un de l’autre, soift également distantes ^

l’extrémité de l’arc , on en conclura quelles sont cées symétriquement de part et d’autre du diamètre qul divise en deux parties égales le premier et le troistèfl1 quart de cercle. Si l'on cherche ensuite quels signes de1 vent être attribués aux diverses lignes trigonométricp1^ d’un arc autres que le sinus verse et le cosinus ver»e’ subant que l’extrémité de cet arc tombe dans un qua^ de cercle ou dans un autre, on trouvera que ces sig13^ iont respectivement

poür le sinns {

ft la cosecante. . \ î'-our le cosinus ) et la sécante . . . . } Pour la tangente 1 et U cotangente. J

" quart d<? crtclc, dans Ir a ' , dans 1r

*-n péut remarquer à ce sujet què l& tfgne de la tangente

toujours le produit du srgrtè du sinus par le signe du ^stntis.

ï,ès considérations précédentes conduisait encore à ^t'ôiUiaître que lé CosinUs d’ùn arc se confond avec la Ptèjéction du rayon qui passe par l’extrémité de. cet arc s«r le diamètre horizontal, et que sur ce même diamètre !I doit être compté positivement de gauchè à droite , à P&rtir du centre pris pour origine ; que le cosinus verse péüt être mesuré sur le diamètre vertical entré le point ^ plus élevé de la circonférence pris pour origine et l’extrémité du sinus; que la cotangente, compiée positivement de gauche à droite sur la tangente horizontale me- '•ée: au cercle par l’ofigine des cosinus verses, se réduit ;t longueur comprise entre cette origine et le prolongent du diamètre mobile dont une moitié est le rayon mené à l'extrémité de l’arc ; enfin que la cosécante , mesur^e sur ce diamètre mobile , se compte positivement dans k sens du rayon dont il s’agit , et à partir du centre pris P°ür origine jusqu’à l’extrémité de la cotangeute.

Nous avons suffisamment développé dans les préliuii- . nmres Je système des notations à l’aide desquelles nous ^présentons les diverses lignes trigonométriques et les ,lcs qui leur correspondent. Nous ne reviendrons pas |Ur cet objet , et nous nous contenterons d’observer que *s lignes trigonométriques d’un arc sont censées appar-

NOTE l.M

tenir en même temps à l’angle au centre qu’il mesure , et que Ton désigne par la même quantité. Ainsi , p»r exemple , a , b , .... représentant des quantités quelconques , on peut dire également que les notations

expriment le sinus de l’arc ou de l’angle a, le ooftinU*

de l’arc ou de l’angle b, &c .

Nous terminerons cette note en rappelant quelque* propriétés remarquables des lignes trigonométriques.

D’abord, si l’on désigne par a une quantité quelconque on trouver^ que le sinus et le cosinus de l’angle a sont toujours liés entre eux par l’équation

(6) sin.1 a h- ros.1 a = i ;

et que les autres lignes trigonométriques peuvent être exprimées au moyen de ces deux premières , ainsi qu’il sui* :

Des formules (6) et (7) on déduira facilement plusieU»* autres équations , par exemple ,

' = i-htang.s«, <•©?©*•/« = 1 -+ cf»l-

Il est encore aisé de voir que , si la quantité positive fl représente la longueur d’une droite entre deux points, ei a l’angle aigu ou obtus que fonne cette droite avec fr1 axe fixe , la projection de la longueur donnée sur fixe sera mesurée par la valeur numérique du produit

H la prc^etion de la même longueur sur une perpendiculaire à l’axe par la valeur numérique du produit

B. sin. et.

Enfin on reconnaîtra sans peine que si , en partant d’un point pris au hasard sur la circonférence du cercle oui a pour rayon l’unité, on parcourt sur cette circonférence, dans un sens ou dans un autre, uilë longueur égale à la valeur numérique d’une quantité Quelconque c ; le plus petit are compris entre les extrémités de cette longueur sera inférieur ou supérieur h suivant que eus. c sera positif ou négatif.

Ces principes' étant admis, concevons que sur la circonférence dont on vient de parler on détermine, i ,° les Extrémités (A) et ( B ) des arcs représentés par deux quantités quelconques « et b, 2. l’extrémité (N) don troisième urc représenté par Soit en outre {M) le

milieu de la corde qui joint les points ( A ), (/?); et supposons que le point (M) se projette sur le diamètre horizontal du cercle en un certain point (P). Si les longueurs mesurées sur ce diamètre, à partir du centre pris Pour origine, sont comptées positivement de gauche à droite , ainsi que les cosinus , la distance du centre au Point (P) devra êtrè représentée [ en vertu du S.c théorème] par la quantité

cos. a cos. b

Tv 2

plus, comme [en vertu du même théorème] le point (^0 est situé à égales distances des points (A) et (£ • , le diamètre qui passe par Je point (N) renfermera le milieu de la corde AB ; et fa distance de ce milieu (M) 911 centre du cercle sera égale^abstractfon faite du signe] *u c°sinus de chacun des arcs NA , iV B, ou , ce qui TOM. 1. £e

NOTE l.“

AU

revient au même , à

ros. ( - a = co*. ( - - - M = co*. f - - - y

Pour obtenir la projection horizontale de cette distance , il suffira de ia multiplier par le cosinus de l’angle aigu compris entre le rayon tiré horizontalement de gauche à droite , et le diamètre qui renferme le point (N) , c’est-àdire, par un facteur égal (au signe près) à cos. ) «

En d’autres termes, la distance du centre au point (P) aura pour mesure la valeur numérique du produit

cos- [— ~) C03\— —y

J’ajoute que ce produit sera positif ou négatif, suivant que le point ( M ) sera situé à droite ou à gauche du diamètre vertical. En effet , co*. ( ) est positif ou néga¬

tif, suivant que le point ( N ) est situé par rapport à <?e diamètre du côté droit ou du côté gauche ; et cos. f) est positif ou négatif, par suite le produit

cos. (__J.C08 \—)

est de même signe que co*. ——,.011 de signe contraire»

suivant que, chacun des arcs NA , NB étant infériez ou supérieur a — , le point (M) se trouve situé <^u même côté que le point (N) ou du côté opposé. Ccw^e d’ailleurs la verticale qui passe par le point (M) renferfl1^ aussi le point (P) ^il suit de la remarque précédente la distance du centre au point (P) , dans le cas même oü l’on a égard aux signes, peut être représentée par le prodn*1

Ce produit et la quantité" ■' ont donc le raè&e

signe , avec la même valeur numérique ; et Ton a par f 011

séqumt, pour toutes les valeurs possibles des quantités a et b,

(9) cos. a — J— cos. b 2 cos, ^ b. ^ Cos. Ç — ^

Si dans 1 équation (9) 011 remplace b par -tt -4- b , on en tirera

o) cos. a — cos. A =?= 2 sin. ^ ^ . sin. ^ <

Oe plus, si dans les équations (9) et (10) on substitue

aux angles a et b leurs complémens — — a , — - b

un obtiendra les suivantes

"in “ - si" * “ ,ro- (r~) . . (JLTi-) v

I un. a — sin. b = î sin. I - J .cos. f -

formules (9), (10) et (i 1) une fois établies, on en déduira facilement un grand nombre d’autres. On trouera , par exemple ,

( sin. a — sin. b tang. f (« — A)

tan g. ’ a h- b) ’

: taug. 7 (a — b) . tang. 1 (« -h b ) ,

sin. a -t- sin . b je os. b — cos. a cos. b -f- cos. 1

cos. ( a — b) -+- cos. (a -t- ù) = 2 cos. a c os. A ,

cos. (« — $) — cos. (• b) = 2 sin. a sin. A ;

sin. (a A) -f- sin. (a — b) = 2 sin. a cos. A, sin. (é -f- A) — sin. (0 — b) jj: 2 sin. A cos. a;

cos. ( a Hg A ) = cos. 0 cos. A q; sin. « sin. A ,

sin. ( a ± 4) = 8m. a cos. A =fc sin. A cos. a ;

1 qr tang. a tang. A ’

(l7)j C°S aa==cos *a — «“•* « = ioos.'n — 1=1 — ,

1 sw. î a =s a sin. a cos. a.

Ee

Soient maintenant a, b, c trois angles quelconques. On tirera de la première des formules (13)

^ g. ) cos.(«-+*-Hr^. -cos.^H-e-«)-+-eo».(c-ha-é)-t-co».(«-H4-«)

v = 4 cob. a cos. b cos. c.

Si dans la formule precedente, au lieu de a , b, c, on écrit -%ay -b, ~ c , puis, que l’on supposé ( » ç) a -+- b H- c == v ,

on trouvera

abc

(20) sin. a sin. b -4- sin. c = 4 cos. - .cos. - .cos. - . Dans la même hypothèse, la formule (16) donnera

(2 1 ) tang. a -4- tang. b -4- tang. c = tang. a . tang. b . tang.e.

L équation (20) devant subsister, ainsi que 1 équation (io), lorsque l’on y remplace deux des angles <7, b, f par leurs supplémens, et qu’on change le signe du trcr sième , on en conclura

m. b -4- sin. c — sin. a sss \ cos. - . sin. - . sin. ,

(2 2) J »h». e -»- »ia. • — »«»■ * = 4 sin. - .cos. - .sin.-,

| sin. a

-4- sin. b — sin. c = 4 #in. - . sin. - .cos. ■

De ces dernières formules combinées entre elles et avec l’équation (20) on déduit les suivantes

I% t (6in;g-t-sin &-4-sin.c) (fon.6-4-sin.c — sin.a) ^

COS. ~a — 4 sin. b. sin. c

r-4-ain.a— sin.M fsin.aH-sin.^— fin.C,) ) sin. -a:=L 4 sin. b. sin. c.

Enfin, si l'on imagine que a , b, c désignent les trois angles d’un triangle, et que les côtçs opposés soient respect, ..ment A , B, C; six produits égaux deux à deux,

Sîi • vif y

= A sin.c ,

Asm. b ssÆsin. a.

représenteront les perpendiculaires abaissées des sommets sur les trois côtés. On aura par suite

( ^ sin. a sin. b sin.c

et les équations (2 3) deviendront

\ cos. - a = - -n - »

(îS) 4

De plus, en ayant égard aux formules (19) et (î4) , °u tirera de la première des équations ( i 2)

(*6) tang. i(<t— .ft) = 4^f-col Tc-

Ï^S formules (19) , (24),. (25) et (26) suffisent pour déterminer trois des six élémens d’un triangle rectiligne , lorsque les trois autres élémens sont connus , et que cette détermination est possible. On peut remarquer en outre HUe les valeurs de cos. a et de sin. a déduites des équations (1 5) , à l’aide des formules (17), sont respectivement

S(A+B+(^B+C-A) ( C+A-B ) (Â+B-C) (sm.û=: - r iBC

La première de ces valeurs peut se tirer directement d’un théorème connu de géométrie. Quant à la seconde, eHe fournit le moyen d’exprimer la surface du triangle en Action des trois côtés. En effet, cette surface, équivafonte au produit de la base C par la moitié de la hauteur c°rrespondante B sin. a , sera

(î8) - B C sin. (I ZZZZ

Sur les Formules qui résultent de l’ emploi du signe > ou < , et sur les Moyennes entre plusieurs quantités.

Soient a et b deux quantités inégales. Les deux formules

serviront également à exprimer que la première quantité a surpasse la seconde b, c’est-à-dire, que la différence

est positive. En partant de ce principe, on établira facilement les propositions que je vais énoncer.

l.eT Théorème. Si a. d , à , . b, b' , y . •

représentent des quantités assujetties aux conditions

on aura aussi

Démonstration. En effet, lorsque les quantités

sont positives, on peut assurer que leur somme

l’est pareillement.