AA A" ... > B B B

Démonstration. En effet, chacune des différences A— B, A — B , A" — B" . . .

«tant positive par hypothèse , chacun des produits {A-B) A' A" ... A A' A .. . —B A' A" ... . B{A'-B')A" . . . — B A' A' ... — B B' A" . . . , BB'(A"-B") . . . = B B' A ... — B B' B' ... ,

sera également positif, et par suite il en sera de même de leur somme

3. e Théorème. Soient a, b , r trois quantités quelconques, et supposons

°n en conclura, si r est positif , r a > r b ,

9t t si r est négatif,

DÉMONSTRATION. fin , le produit

/• a — b' j =z va — rb

sera positif dans le premier cas, et négatif dans le second- COROLLAIRE. Si , en supposant a et b positifs , on prend successivement

on en conclura

On se trouve ainsi ramené à cette proposition , évidente par elle -, même , qu’une fraction est inférieure ou supé* rieure à l’unité , suivant que le plus grand de ses deu* J termes est le dénominateur ou le numérateur.

4.e Théorème. Soient a et À deux nombres qu* satisfassent à la condition

*t b une quantité quelconque . On aura x si b est positif-

Ah > A'\ et, si b est négatif,

Ah < A'k.

Démons tra tiqn. En la fraction

sera évidemment supérieure ou inférieure à l’uîirté , suiH vant que la quantité b sera positivé ou négative.

effet, le quotient-^- étant

,VC Théorème. Désignons par A un nombre quel conque , et soient b, b' deux quantités assujetties à condition

en conclura , si A est plus grand que f unité ,

Ab > A6',

9t > si a est inférieur à l'unité ,

Ab < Ah\

DÉMONSTRATION. En effet, la quantité b— b' étant Positive , par hypothèse , la fraction

Ah

sera évidemment supérieure ou inférieure à l’unité, suivant que l’on aura A > i ou A < i .

6.c Théorème. Soit L la caractéristique des loga~ c* thmes pris dans le système dont la base est A , et désignons par B , fi* deux nombres assujettis à la

c°ndifion

°« aura, si A est plus grand que l’unité h

tl> si a est inférieur à l’unité,

Démonstration. En effet, le logarithme

Sera positif dans le premier cas , et négatif dans le second.

Corollaire. Si l’on se sert de la lettre l pour indi- JUer les logarithmes népériens pris dans le système dont * W est

(1.) r ïs?>2,7 -i.l>a'8 i 8 . . .

[chap. YI , équation (5)] , la condition

entraînera toujours la formule

Aux théorèmes qui précèdent nous ajouterons le su vant, duquel on peut déduire plusieurs conséquences & portantes.